2 replies to this topic

[hoctrocuanewton]

cho các số thực a,b,c thỏa mãn a+b+c=1

chứng minh 

$\sqrt{\frac{ab}{ab+c}}+\sqrt{\frac{bc}{a+bc}}+\sqrt{\frac{ac}{ac+b}}\leqslant \frac{3}{2}$

[Messi10597]

cho các số thực a,b,c thỏa mãn a+b+c=1

chứng minh 

$\sqrt{\frac{ab}{ab+c}}+\sqrt{\frac{bc}{a+bc}}+\sqrt{\frac{ac}{ac+b}}\leqslant \frac{3}{2}$

Từ giả thiết :$a+b+c=1\Leftrightarrow ac+bc+c^{2}=c\Leftrightarrow c+ab=ab+bc+ac+c^{2}=(c+a)(c+b)$

$\Rightarrow \sqrt{\frac{ab}{ab+c}}=\sqrt{\frac{ab}{(a+c)(b+c)}}\leq \frac{1}{2}(\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c})$

Tương tự ta có: $\sqrt{\frac{bc}{a+bc}}\leq \frac{1}{2}(\frac{b}{a+b}+\frac{c}{a+c})$

                          $\sqrt{\frac{ac}{ac+b}}\leq \frac{1}{2}(\frac{a}{a+b}+\frac{c}{b+c})$

Cộng vế với vế của các BĐT cùng chiều ta đc đpcm

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$

Edited by Messi10597, 10-07-2013 - 10:57.

[trauvang97]

cho các số thực a,b,c thỏa mãn a+b+c=1

chứng minh 

$\sqrt{\frac{ab}{ab+c}}+\sqrt{\frac{bc}{a+bc}}+\sqrt{\frac{ac}{ac+b}}\leqslant \frac{3}{2}$

 

Ta có: $\sqrt{\frac{ab}{c+ab}}=\sqrt{\frac{ab}{c(a+b+c)+ab}}=\sqrt{\frac{ab}{(c+a)(c+b)}}$

 

Tương tự: $\sqrt{\frac{bc}{a+bc}}=\sqrt{\frac{bc}{(a+b)(a+c)}}$

 

                $\sqrt{\frac{ca}{b+ca}}=\sqrt{\frac{ca}{(b+c)(b+a)}}$

 

Đặt vế trái của biểu thức cần chứng minh là $P$.

 

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có

 

$P\leq \frac{1}{2}\left ( \frac{a+c}{a+c}+\frac{b+c}{b+c}+\frac{c+a}{c+a} \right )=\frac{3}{2}$