5 replies to this topic

[ranmaiyeushin]

BT1:Tìm số nguyên tố p để: 1 + p + p² + p³ + p⁴ là số chính phương.

BT2: CMR: 3²¹ – 2²⁴ – 6⁸ – 1 chia hết cho 1930

BT3: Giả sử a,b,c là các số nguyên dương và a là số nguyên tố sao cho a² = b² – c²

CMR: b = c +1 và a < c

BT4: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

            xem ở ảnh đính kèm

BT5: Cho n thuộc N*. 2n + 1 và 3n + 1 là các số chính phương. CMR: n chia hết cho 40

BT6: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

a)  p(x + y) = xy, với p là số nguyên tố.

b) x² + (x + 1)² = y⁴ + (y+1)⁴

c) x³ – 3y³ – 9z³ = 0

d) y² = -2(x⁶ – x³y – 32)

Attached Images

• 

[phanducnhatminh]

Đặt $1+p+p^{2}+p^{3}+p^{4}=n^{2} (n\epsilon N^{*})=>(2n)^{2}=4(1+p+p^{2}+p^{3}+p^{4}).$

Chặn $(2p^{2}+p)^{2}<(2n)^{2}<(2p^{2}+p+2)^{2}$ 

Suy ra $(2n)^{2}=(2p^{2}+p+1)^{2}=>4+4p+4p^{2}+4p^{3}+4P^{4}=1+2p+5p^{2}+4p^{3}+4p^{4}=>p^{2}-2p-3=0=>p=3$

[laiducthang98]

Bài 1 p=2 là k.t.m

p=3 thỏa mãn

xét p$\geq 5$ thì các ước của $p^{4}$ là 1,p,$p^{2}$,$p^{3}$,$p^{4}$ .Ta giả sử $1+p+p^2+p^3+p^4=m^2 (m\epsilon Z+)$ <=>$4+4p+4p^2+4p^3+4p^4=4m^2 (m\epsilon Z+)$ 

Ta có p$\geq 5$=> $p^{2}$ $\geq 5p$=2p+3p$\geq 2p+3$=> $p^{2}$-2p-3 $\geq 0$

Ta có $4m^2<4p^4+p^2+1+4p^2+2p+4p^2=(2p^2+p+1)^2$

 Lại có $4m^2>4p^4+4p^3+p^2=(2p^2+p)^2$

Từ đó có $(2p^2+p+1)^2>4m^2>(2p^2+p)^2$Điều này là k xảy ra nên chỉ có x=3 thỏa mãn 

 

     

Edited by laiducthang98, 31-07-2013 - 23:00.

[letankhang]

BT1:Tìm số nguyên tố p để: 1 + p + p² + p³ + p⁴ là số chính phương.

 

Đặt :

$p^{4}+p^{3}+p^{2}+p+1=n^{2}\Rightarrow 4(p^{4}+p^{3}+p^{2}+p+1)=4n^{2}$ $(1)$

$\Rightarrow (2p^{2}+p)^{2}<4n^{2}<(2p^{2}+p+2)^{2}$ ( ta có thể dễ dàng chứng minh điều này )

$\Rightarrow 4n^{2}=(2p^{2}+p+1)^{2}=4p^{4}+p^{2}+1+4p^{3}+4p^{2}+2p$ $(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ :

$\Rightarrow p^{2}-2p-3=0\Rightarrow p=3$

Vậy số nguyên tố $p$ cần tìm là $3$

[letankhang]

 

BT2: CMR: 3²¹ – 2²⁴ – 6⁸ – 1 chia hết cho 1930

 

BT5: Cho n thuộc N*. 2n + 1 và 3n + 1 là các số chính phương. CMR: n chia hết cho 40

 

Bài 2 :

Ta có :

$3^{21}\equiv 243(mod1930);2^{24}\equiv 1656(mod1930);6^{8}\equiv 516(mod1930)$

$\Rightarrow 3^{21}-2^{24}-6^{8}-1\equiv 243-1656-516-1\equiv -1930\equiv 0(mod1930)$

$\Rightarrow (3^{21}-2^{24}-6^{8}-1)\vdots 1930$

Bài 3 :

Ta có $2n+1$ là số chính phương lẻ nên chia 8 dư 1 => n chẵn => $3n+1$ là số chính phương lẻ; số này chia 8 dư 1 nên 3n chia hết hết cho 8; do đó n chia hết cho 8 $(1)$

Do 3n+1 là số chính phương lẻ nên tận cùng 1;5;9 => 3n tận cùng 0;4;8 => n tận cùng 0;8;6.

Loại trường hợp n tận cùng 8;6 vì khi đó 2n+1 tận cùng là 7;3 không là số chính phương => n tận cùng là 0 $(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra n chia hết cho 40

Edited by letankhang, 01-08-2013 - 11:07.

[bangbang1412]

Bài 6 : Câu a ; ta có phương trình đương đương : $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{p}$ ở đây ta xét cho x ; y nguyên dương là đủ

Dễ thấy x = p + d ; thay vào phương trình đầu ta sẽ tính được $y=p+\frac{p^{2}}{d}$

Do p là số nguyên tố nên các ước của $p^{2}$ là 1 ; p ; $p^{2}$

Vì vậy phương trình này có các nghiệm dương $(x;y)=(p+1 ; p^{2}+p) ; ( 2p ; 2p )$ và các hoán vị ; với TH nghiệm âm chứng minh tương tự .