Chủ đề này có 2 trả lời

[bangbang1412]

Chứng minh $\prod (a^{2}+3)\geq 4(\sum a+1)^{2}$

 với a ; b ; c dương 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 03-08-2013 - 19:06

[Juliel]

Chứng minh $\prod (a^{2}+3)\geq 4(\sum a+1)^{2}$

 với a ; b ; c dương 

Áp dụng BĐT Cauchy- Schwarz :

$$4(a+b+c+1)^{2}\leq 4(a^{2}+3)\left ( 1+\frac{(b+c+1)^{2}}{3} \right )$$

Do đó ta chỉ cần chứng minh :

$$4\left ( 1+\frac{(b+c+1)^{2}}{3} \right )\leq (b^{2}+3)(c^{2}+3)\Leftrightarrow 3b^{2}c^{2}+5b^{2}+5c^{2}+11\geq 8bc+8b+8c$$

Theo $AM-GM$ :

$$3b^{2}c^{2}+3\geq 6bc$$

Nên ta đi chứng minh bất đẳng thức mạnh hơn :

$$6bc+5b^{2}+5c^{2}+8\geq 8bc+8b+8c\Leftrightarrow 5(b^{2}+c^{2})+8\geq 2bc+8b+8c$$ $(*)$

Thật vậy, 

$$b^{2}+c^{2}\geq 2bc$$

$$(b-1)^{2}+(c-1)^{2}\Leftrightarrow 4(b^{2}+c^{2})+8\geq 8b+8c$$

Cộng vế hai BĐT trên thì ta có $(*)$.

Ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi $a = b = c = 1$.

[25 minutes]

Chứng minh $\prod (a^{2}+3)\geq 4(\sum a+1)^{2}$

 với a ; b ; c dương 

BĐT $\Leftrightarrow (abc)^2+27+3\sum a^2b^2+9\sum a^2\geqslant 4\sum a^2+8\sum ab+8\sum a+4$

        $\Leftrightarrow (abc)^2+23+3\sum a^2b^2+5\sum a^2\geqslant 8\sum ab+8\sum a$

Áp dụng AM-GM ta có

               $3(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2) +9\geqslant 6(ab+bc+ca)$

              $a^2+b^2+c^2+2abc+1\geqslant 2(ab+bc+ca)$

              $(abc)^2+1\geqslant 2abc$

              $4(a^2+b^2+c^2)+12\geqslant 8(a+b+c)$

Cộng các bất đẳng thức trên lại ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$