Chủ đề này có 7 trả lời

[namcpnh]

Bài toán : Tìm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa $f(x^3)+f(y^3)=(x+y)f(x^2)+f(y^2)-f(xy)$.

 

Albania MO 2012.

 

-------

 

Ps: Làm bài này xong ức chế kinh.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 29-08-2013 - 12:41

[duongtoi]

Bài toán : Tìm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa $f(x^3)+f(y^3)=(x+y)f(x^2)+f(y^2)-f(xy)$.

 

Albania MO 2012.

 

-------

 

Ps: Làm bài này xong ức chế kinh.

Cho $x=y=0$ ta được $2f(0)=0\Leftrightarrow f(0)=0$

Cho $y=0$ ta được $f(x^3)+f(0)=xf(x^2)$.

Suy ra $f(x^3)=xf(x^2)$.

Cho $x=0$ suy ra $f(y^3)=f(y^2)$.

Do đó, $xf(x^2)-f(x^2)=0\Leftrightarrow f(x^2)=0$.

Cho $y=1$ ta được $f(x^3)+f(1)=(x+1)f(x^2)+f(1)-f(x)\Leftrightarrow f(x)=0$.

Vậy hàm số cần tìm là $f(x)=0$.

[Kool LL]

Bài toán : Tìm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa $f(x^3)+f(y^3)=(x+y)f(x^2)+f(y^2)-f(xy)$. (1)

Albania MO 2012.

-------

Ps: Làm bài này xong ức chế kinh.

 

$(1)\xrightarrow{y=x}f(x^3)=x.f(x^2)$. (2) $\xrightarrow{x=0}f(0)=0$. (3)

$(1)\xrightarrow{x=0} f(y^3)=f(y^2)$. (4) $\xrightarrow{(2)}x.f(x^2)=f(x^2)$. (5)

$(1)\xrightarrow [(2)]{y=1}f(x^2)=f(x)$. (6) $\xrightarrow{(5)}x.f(x)=f(x),\forall x\Rightarrow f(x)=0,\forall x\ne1$. (7)

$(1)\xrightarrow[(3),(7)]{x=0,y=-1}f(1)=0$.

Vậy $f(x)=0, \forall x$.

[Kool LL]

Cho $x=y=0$ ta được $2f(0)=0\Leftrightarrow f(0)=0$

Cho $y=0$ ta được $f(x^3)+f(0)=xf(x^2)$.

Suy ra $f(x^3)=xf(x^2)$.

Cho $x=0$ suy ra $f(y^3)=f(y^2)$.

Do đó, $xf(x^2)-f(x^2)=0\Leftrightarrow f(x^2)=0$.

Cho $y=1$ ta được $f(x^3)+f(1)=(x+1)f(x^2)+f(1)-f(x)\Leftrightarrow f(x)=0$.

Vậy hàm số cần tìm là $f(x)=0$.

Chỗ tô màu đỏ chưa đúng. $xf(x^2)-f(x^2)=0, \forall x\Leftrightarrow f(x^2)=0, \forall x\ne1$ mới đúng.

[namcpnh]

Đây là bài giải của mình.

 

Chọn $x=y=0$ ta có : $f(0)=0$.

 

Chọn $y=0$ ta có : $f(x^3)=xf(x^2)$.

 

Khi đó PTH thành $yf(y^2)+f(xy)=yf(x^2)+f(y^2)$

 

Đổi vai trò $x,y$ ta được : $xf(x^2)+f(xy)=xf(y^2)+f(x^2)$

 

=> $xf(x^2)-yf(y^2)=xf(y^2)-yf(x^2)+f(x^2)-f(y^2)$

 

<=> $(f(x^2)-f(y^2))(x+y-1)=0$

 

<=> $f(x^2)=f(y^2)$

 

Hay $\frac{f(x^3)}{x}=\frac{f(y^3)}{y}=c,\forall x,y\neq 0$

 

=> $f(x)=c\sqrt[3]{x}$,\forall x \neq 0$

 

Mà $f(0)=0$ nên $f(x)=c\sqrt[3]{x},\forall x\in \mathbb{R}$.

 

Thử lại không thoả.

 

Vậy chỉ có $f(x)\equiv 0$ thoả đề.

[Kool LL]

 .....................

 

Đổi vai trò $x,y$ ta được : $xf(x^2)+f(xy)=xf(y^2)+f(x^2)$

 

=> $xf(x^2)-yf(y^2)=xf(y^2)-yf(x^2)+f(x^2)-f(y^2)$

 

<=> $(f(x^2)-f(y^2))(x+y-1)=0$

 

<=> $f(x^2)=f(y^2)$

Bài giải còn thiếu sót, chưa nói đến sai căn bản khi giải PT (chỗ màu đỏ). Đúng ra phải là

$(f(x^2)-f(y^2))(x+y-1)=0 \Leftrightarrow f(x^2)=f(y^2), \forall x,y$ với $x+y\ne1$

Cho nên khỏi phải nói, không thể áp dung giải tiếp phần sau được, mà phải xét them trường hợp nữa.
 

.....................

 

=> $f(x)=c\sqrt[3]{x}$,\forall x \neq 0$

 

Mà $f(0)=0$ nên $f(x)=c\sqrt[3]{x},\forall x\in \mathbb{R}$.

 

Thử lại không thoả.

 

Vậy chỉ có $f(x)\equiv 0$ thoả đề.

Không phải thử lại không thoả, mà phải là : Thử lại và giải ra chỉ có $c=0$ mà thôi.

 

Hoan nghênh ý tưởng trong cách giải này, nhưng trình bày ẩu quá, chưa giải quyết triệt để bài toán.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kool LL: 31-08-2013 - 02:45

[Idie9xx]

Bài toán : Tìm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa $f(x^3)+f(y^3)=(x+y)f(x^2)+f(y^2)-f(xy)$.

 

Albania MO 2012.

 

-------

 

Ps: Làm bài này xong ức chế kinh.

Cho $x=y$ có $f(x^3)=xf(x^2)\Rightarrow f(x^3)=xf(x^2)=-(-x)f((-x)^2)=-f(-x^3)$ (hàm lẻ)

Cho $x=-y$ có $f(x^3)+f(-x^3)=f(x^2)-f(-x^2)\Rightarrow f(x^2)=f(-x^2)$ (hàm chẵn)

$\Rightarrow \boxed{f(x)=0},\forall x\in \mathbb{R}$

 

Ps: Đề này chắc là để cho điểm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Idie9xx: 31-08-2013 - 12:52

[haitienbg]

Cho $x=y$ có $f(x^3)=xf(x^2)\Rightarrow f(x^3)=xf(x^2)=-(-x)f((-x)^2)=-f(-x^3)$ (hàm lẻ)

Cho $x=-y$ có $f(x^3)+f(-x^3)=f(x^2)-f(-x^2)\Rightarrow f(x^2)=f(-x^2)$ (hàm chẵn)

$\Rightarrow \boxed{f(x)=0},\forall x\in \mathbb{R}$

 

Ps: Đề này chắc là để cho điểm

the con f=x bo di dau