Chủ đề này có 5 trả lời

[HungHuynh2508]

Cho x,y,z >0 và xy+yz+xz=1.

Chứng minh: $\frac{27}{4}(x+y)(y+z)(x+z)\geq (\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{x+z})^{2}\geq 6\sqrt{3}$

[25 minutes]

Cho x,y,z >0 và xy+yz+xz=1.

Chứng minh: $\frac{27}{4}(x+y)(y+z)(x+z)\geq (\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{x+z})^{2}\geq 6\sqrt{3}$

Sử dụng AM-GM ta có được bất đẳng thức sau 

                      $(x+y)(y+z)(z+x)\geqslant \frac{8}{9}(x+y+z)(xy+yz+zx)=\frac{8}{9}(x+y+z)$

$\Rightarrow \frac{27}{4}(x+y)(y+z)(z+x)\geqslant 6(x+y+z)$

Do đó ta chỉ cần chứng minh $6(x+y+z)\geqslant (\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x})^2$

                  $\Leftrightarrow 2(x+y+z)\geqslant \sqrt{(x+y)(y+z)}+\sqrt{(x+z)(y+z)}+\sqrt{(x+y)(x+z)}$

Nhưng bất đẳng thức trên luôn đúng theo AM-GM

                 $\sqrt{(x+y)(y+z)}\leqslant \frac{x+y+y+z}{2}=\frac{x+2y+z}{2}$

Tương tự 2 bất đẳng thưc còn lại ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}$

[HungHuynh2508]

Sử dụng AM-GM ta có được bất đẳng thức sau 

                      $(x+y)(y+z)(z+x)\geqslant \frac{8}{9}(x+y+z)(xy+yz+zx)=\frac{8}{9}(x+y+z)$

$\Rightarrow \frac{27}{4}(x+y)(y+z)(z+x)\geqslant 6(x+y+z)$

Do đó ta chỉ cần chứng minh $6(x+y+z)\geqslant (\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x})^2$

                  $\Leftrightarrow 2(x+y+z)\geqslant \sqrt{(x+y)(y+z)}+\sqrt{(x+z)(y+z)}+\sqrt{(x+y)(x+z)}$

Nhưng bất đẳng thức trên luôn đúng theo AM-GM

                 $\sqrt{(x+y)(y+z)}\leqslant \frac{x+y+y+z}{2}=\frac{x+2y+z}{2}$

Tương tự 2 bất đẳng thưc còn lại ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}$

Thanks bạn nha. Mà còn 1 vế đằng sau nhờ bạn giải giúp luôn.
Phần $(x+y)(y+z)(x+z)\geq \frac{8}{9}(x+y+z)(xy+yz+xz)$ mình giải ra cho mọi người xem luôn:

$(x+y)(y+z)(x+z)=(xy+yz+xz)(a+b+c)-abc\geq (xy+yz+xz)(x+y+z)-\frac{1}{9}(xy+yz+xz)(x+y+z)=\frac{8}{9}(xy+yz+xz)(x+y+z)$

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Giải

Vế còn lại có thể chứng minh như sau:
Ta có:
$P = \left ( \sqrt{x + y} + \sqrt{y + z} + \sqrt{z + x}\right )^2$

$= 2(x + y + z) + 2\left [ \sqrt{(x + y)(y + z)} + \sqrt{(y + z)(z + x)} + \sqrt{(z + x)(x + y)}\right ]$

$= 2(x + y + z) + 2\sqrt{y^2 + 1} + 2\sqrt{x^2 + 1} + 2\sqrt{z^2 + 1}$

Ta có:
$\sqrt{x^2 + 1} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{\left ( \dfrac{1}{3} + 1\right )(x^2 + 1)} \geq \dfrac{\sqrt{3}}{2}\left ( \dfrac{x}{\sqrt{3}} + 1\right )$

Do đó:
$P \geq 3(x + y + z) + 3\sqrt{3} \geq 3\sqrt{3(xy + yz + zx)} + 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$

 

 

[HungHuynh2508]

 

Giải

Vế còn lại có thể chứng minh như sau:
Ta có:
$P = \left ( \sqrt{x + y} + \sqrt{y + z} + \sqrt{z + x}\right )^2$

$= 2(x + y + z) + 2\left [ \sqrt{(x + y)(y + z)} + \sqrt{(y + z)(z + x)} + \sqrt{(z + x)(x + y)}\right ]$

$= 2(x + y + z) + 2\sqrt{y^2 + 1} + 2\sqrt{x^2 + 1} + 2\sqrt{z^2 + 1}$

Ta có:
$\sqrt{x^2 + 1} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{\left ( \dfrac{1}{3} + 1\right )(x^2 + 1)} \geq \dfrac{\sqrt{3}}{2}\left ( \dfrac{x}{\sqrt{3}} + 1\right )$

Do đó:
$P \geq 3(x + y + z) + 3\sqrt{3} \geq 3\sqrt{3(xy + yz + zx)} + 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$

 

đoạn này chưa hiểu

[HungHuynh2508]

 

Giải

Vế còn lại có thể chứng minh như sau:
Ta có:
$P = \left ( \sqrt{x + y} + \sqrt{y + z} + \sqrt{z + x}\right )^2$

$= 2(x + y + z) + 2\left [ \sqrt{(x + y)(y + z)} + \sqrt{(y + z)(z + x)} + \sqrt{(z + x)(x + y)}\right ]$

$= 2(x + y + z) + 2\sqrt{y^2 + 1} + 2\sqrt{x^2 + 1} + 2\sqrt{z^2 + 1}$

Ta có:
$\sqrt{x^2 + 1} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{\left ( \dfrac{1}{3} + 1\right )(x^2 + 1)} \geq \dfrac{\sqrt{3}}{2}\left ( \dfrac{x}{\sqrt{3}} + 1\right )$

Do đó:
$P \geq 3(x + y + z) + 3\sqrt{3} \geq 3\sqrt{3(xy + yz + zx)} + 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$

 

à, giờ thì hiểu rồi. nhân trong căn thức ra rồi áp dụng xy+yz+xz=1