Chủ đề này có 1 trả lời

[Rainlee]

Mn giúp mình bài này cái

Hình gửi kèm

• 

[Hoang Tung 126]

Kia phải là $(a+2c)(b+2c)=16c^2< = > (\frac{a}{c}+2)(\frac{b}{c}+2)=16$.Ta có :$P=\frac{128a^4}{(b+6c)^4}+\frac{128b^4}{(a+6c)^4}+\sqrt{(\frac{a}{c}^2)+(\frac{b}{c})^2}=\frac{128}{(\frac{b}{a}+\frac{6c}{a})^4}+\frac{128}{(\frac{a}{b}+\frac{6c}{b})^4}+\sqrt{(\frac{a}{c})^2+\frac{b^2}{c^2}}$.Đặt $\frac{a}{c}=x,\frac{b}{c}=y$ thì $(x+2)(y+2)=16< = > xy+2x+2y=12$.Ta có :$P=\frac{128}{(\frac{y}{x}+\frac{6}{x})^4}+\frac{128}{(\frac{x}{y}+\frac{6}{y})^4}+\sqrt{(\frac{a}{c})^2+\frac{b^2}{c^2}}=128.(\frac{x^4}{(y+6)^4}+\frac{y^4}{(x+6)^4})+\sqrt{x^2+y^2}\geq \frac{128}{8}.(\frac{x}{y+6}+\frac{y}{x+6})^4+\sqrt{x^2+y^2}=16.(\frac{x^2+y^2+6(x+y)}{xy+6x+6y+36})^4+\sqrt{x^2+y^2}=16.(\frac{(x^2+y^2+6x+6y)}{12+36+4(x+y)})^4+\sqrt{x^2+y^2}=16.(\frac{(x^2+y^2+6x+6y)^4}{4(x+y)+48})+\sqrt{x^2+y^2}$.

Mặt khác $x^2+y^2\geq 2xy,x^2+4\geq 4x,y^2+4\geq 4y= > 2(x^2+y^2)+8\geq 2(xy+2x+2y)=2.12=24= > x^2+y^2\geq 8= > \sqrt{x^2+y^2}\geq 2\sqrt{2}$.

Do đó ta chỉ cần tìm Min của biểu thức :$\frac{x^2+y^2+6(x+y)}{4(x+y)+48}$ .

Mặt khác $xy\leq \frac{(x+y)^2}{4}= > 12=xy+2x+2y\leq \frac{(x+y)^2}{4}+2(x+y)< = > x+y\geq 4= > 6(x+y)\geq 24= >A= \frac{x^2+y^2+6(x+y)}{4(x+y)+48}\geq \frac{x^2+y^2+24}{4(x+y)+48}\geq \frac{x^2+y^2+24}{4\sqrt{2(x^2+y^2)}+48}$

.Đặt $\sqrt{2(x^2+y^2)}=t= > t\geq \sqrt{2.8}=4$ .Ta sẽ CM $A\geq \frac{1}{2}< = > \frac{\frac{t^2}{2}+24}{4t+96}\geq \frac{1}{2}< = > 2t^2\geq 8t< = > t\geq 4$(luôn đúng) nên $A^4\geq \frac{1}{16}= > 16A^4\geq 1$ .Cộng theo vế các bdt cùng chiều $= > P= 16.(\frac{(x^2+y^2+6x+6y)^4}{(48+4(x+y)^4)})+\sqrt{x^2+y^2}\geq 1+2\sqrt{2}$ nên P Min=$1+2\sqrt{2}$ khi $x=y=2$$< = > a=b=2c$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Tung 126: 25-09-2013 - 17:33