ĐỀ THI HSG 12 YÊN BÁI
Câu 1 (5 điểm)
Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x-\frac{1}{x^{3}}=y-\frac{1}{y^{3}}\\ (x-4y)(2x-y+4)=-36 \end{matrix}\right.$
Câu 2 (4 điểm)
Giải phương trình
$64\cos^{6}x+56\cos^{2}x=2\sqrt{1-\cos^{2}x}+112\cos^{2}4x+7$, với $x\in \left [ 0;2\pi \right ]$
Câu 3 (3 điểm)
Cho hai số thực $x,y$ thỏa mãn điều kiện: $\left\{\begin{matrix} 3x+y-3\geq 0\\ 3x-y-3\leq 0 \\ 2y-x-6\leq 0 \end{matrix}\right.$
Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $S=2x(x-1)-4(y+x)+2(y^{2}+x)$
Câu 4 (5 điểm)
1. Cho tứ giác lồi $ABCD$ biết hai cạnh $AB$ và $BC$ có độ dài không đổi $AB=a$, $BC=b$ và tam giác $ACD$ là tam giác đều.
Tính độ dài $AC$ theo $a$ và $b$ khi $BD$ có độ dài lớn nhất.
2. Trên một khu rừng đủ rộng, người ta trồng nhiều cây thông con. Xem các gốc cây thông là các điểm (đường kính gốc cây không đáng kể). Chứng minh rằng nếu ta trồng cây sao cho các tam giác có đỉnh là các điểm tạo bởi các gốc cây thông đều có diện tích không quá 500 m2 thì tồn tại một tam giác có diện tích không quá 2014 m2,chứa tất cả các cây thông này.
Câu 5 (3 điểm)
Tìm hàm số $f:(0;+\propto )\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện:
$\left\{\begin{matrix} f(1)=\frac{1}{2}\\ f(xy)=f(x).f\left ( \frac{2014}{x} \right )+f(y).f\left ( \frac{2014}{x} \right ),\forall x,y\in (0;+\propto ) \end{matrix}\right.$
KÌ THI LẬP ĐỘI TUYỂN DỰ THI
HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA THPT NĂM 2014
Ngày thi thứ nhất (22/10/2013)
Câu 1 (5 điểm)
Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} 11\sqrt{3-x}+3y\sqrt{2-y}=8\sqrt{2-y}+3x\sqrt{3-x}\\ \sqrt{x+2}+\sqrt{2-y}=x^{3}+y^{2}-2y-4 \end{matrix}\right.$
Câu 2 (4 điểm)
Cho dãy số $(x_{n})$ xác định bởi: $\left\{(x_{n})\begin{matrix} x_{1}=\frac{1}{4}\\ x_{n+1}=\frac{x_{n}}{1+2x_{n}+2\sqrt{x_{n}^{2}+x_{n}}},\forall n\in \mathbb{N}* \end{matrix}\right.$
Đặt $y_{n}=\sum_{i=1}^{n}x_{k}$. Tìm $\lim y_{n}$.
Câu 3 (5 điểm)
Cho điểm $P$ nằm ngoài đường tròn $(O)$. Từ $P$ kẻ hai tiếp tuyến $PA,PB$ với $(O)$ ($A$, $B$ là các tiếp điểm). Trên cung $AB$ nhỏ lấy điểm $C$ sao cho $CA>CB$. Giả sử $AC$ cắt $PB$ tại $D$, $BC$ cắt $PA$ tại $E$. Chứng minh rằng tâm của ba đường tròn ngoại tiếp các tam giác $ACE,BCD,PCO$ thẳng hàng.
Câu 4 (3 điểm)
Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(x,y)$ thỏa mãn $2^{x}-y^{2}-2y+64=0$
Câu 5 (3 điểm)
Cho $10$ số nguyên dương $a_{1},a_{2},...,a_{10}$. Chứng minh rằng tồn tại các số $x_{i}\in \left \{ -1;0;1 \right \}$ không đồng thời bằng $0$ với $i=1,2,...,10$ sao cho số $\sum_{i=1}^{10}x_{i}a_{i}$ chia hết cho $1023$.
Ngày thi thứ hai (23/10/2013)
Câu 1 (5 điểm)
Cho $2013$ số thực dương $x_{1},x_{2},...,x_{2013}$ thỏa mãn $x_{1}+x_{2}+...+x_{2013}<1$
Chứng minh rằng
$\frac{x_{1}x_{2}...x_{2013}\left [ 1-\left ( x_{1}+x_{2}+...+x_{2013} \right ) \right ]}{\left ( x_{1}+x_{2}+...+x_{2013} \right )\left ( 1-x_{1} \right )\left ( 1-x_{2} \right )...\left ( 1-x_{2013} \right )}\leq \frac{1}{2013^{2014}}$
Câu 2 (5 điểm)
Cho dãy số $(x_{n})$ xác định bởi $\left\{\begin{matrix} x_{1}=a (a>0)\\ x_{n+1}=\ln (1+2 e^{-x_{n}}),\forall n=1,2,... \end{matrix}\right.$
Chứng minh dãy $(x_{n})$ có giới hạn. Tìm giới hạn đó.
Câu 3 (5 điểm)
Bên trong hình vuông $ABCD$, lấy điểm $M$ không trùng với giao của hai đường chéo. Gọi $P,Q$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $M$ trên các cạnh $BC,CD$. Giả sử $MA=PQ$ và $MA\perp PQ$. Chứng minh rằng các đường thẳng $AM,BQ,DP$ đồng quy.
Câu 4 (5 điểm)
a) Cho dãy số: $1,101,10101,1010101,...$. Tìm các số hạng trong dãy là số nguyên tố.
b) Hoàng tử muốn cứu công chúa khỏi một con rồng có $100$ cái đầu. Hoàng tử có $2$ thanh kiếm. Nếu dùng thanh kiếm thứ nhất thì mỗi lần chặt được đúng và chỉ đúng $21$ cái đầu. Nếu dùng thanh kiếm thứ hai thì mỗi lần chặt được đúng và chỉ đúng $5$ cái đầu nhưng con rồng lại mọc lên $2014$ cái đầu khác. Hoàng tử sẽ cứu được công chúa nếu toàn bộ số đầu rồng bị chặt hết. Hỏi chỉ với hai thanh kiếm trên hoàng tử có thể cứu được công chúa hay không? Vì sao?
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 27-10-2013 - 09:11