Cho a, b, c > o thỏa mãn a+b+c=1.Cmr
$\frac{bc}{\sqrt{a+bc}}+\frac{ca}{\sqrt{b+ca}}+\frac{ab}{\sqrt{c+ab}}\leq \frac{1}{2}$
$\frac{bc}{\sqrt{a+bc}}+\frac{ca}{\sqrt{b+ca}}+\frac{ab}{\sqrt{c+ab}}\leq \frac{1}{2}$
Bắt đầu bởi khonggiohan, 08-10-2013 - 20:47
bất đẳng thức và cực trị
#1
Đã gửi 08-10-2013 - 20:47
khonggiohan
-
- Thành viên
-
- 53 Bài viết
Hạ sĩ
- Trang Luong và thuan192 thích
Đời cho tôi 1 vai diễn lớn, chỉ hiềm nỗi tôi không hiểu nổi cốt truyện
#2
Đã gửi 08-10-2013 - 20:52
Trang Luong
-
- Thành viên
-
- 1834 Bài viết
Đại úy
Cho a, b, c > o thỏa mãn a+b+c=1.Cmr
$\frac{bc}{\sqrt{a+bc}}+\frac{ca}{\sqrt{b+ca}}+\frac{ab}{\sqrt{c+ab}}\leq \frac{1}{2}$
Áp dụng BĐT AM-GM
Ta có : $\frac{bc}{\sqrt{a+bc}}=\frac{bc}{\sqrt{a^2+ab+ac+bc}}=\frac{bc}{\sqrt{(a+c)(a+b)}}\leq \frac{bc}{4(a+c)}+\frac{bc}{4(a+b)}$
$\Rightarrow \sum \frac{bc}{\sqrt{a+bc}}\leq \frac{bc}{4(a+c)}+\frac{bc}{4(a+b)}+\frac{ac}{4(a+b)}+\frac{ac}{4(b+c)}+\frac{ab}{4(a+c)}+\frac{ac}{4(a+b)}=\frac{1}{4}\left ( 2a+2b+2c \right )=\frac{1}{2}$
- LNH, Vu Thuy Linh, nghiemthanhbach và 1 người khác yêu thích
"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công"
Issac Newton
Issac Newton
#3
Đã gửi 08-10-2013 - 20:56
nghiemthanhbach
-
- Thành viên
-
- 1056 Bài viết
$\sqrt{MF}'s\;friend$
Cho a, b, c > o thỏa mãn a+b+c=1.Cmr
$\frac{bc}{\sqrt{a+bc}}+\frac{ca}{\sqrt{b+ca}}+\frac{ab}{\sqrt{c+ab}}\leq \frac{1}{2}$
Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có
$\frac{bc}{\sqrt{a+bc}}=\frac{bc}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}\leq \frac{bc}{2}(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c})$
Làm tương tự $\rightarrow S\leq \sum \frac{bc+ca}{2(a+b)}=\frac{\sum a}{2}=\frac{1}{2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nghiemthanhbach: 08-10-2013 - 20:57
- Trang Luong và khonggiohan thích
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức và cực trị
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
