cho a,b,c là độ dài 3 cạch của 1 tam giác .CMR
$a^{2}b(a-b)+b^{2}c(b-a)+c^{2}a(c-a)\geq 0$
$a^{2}b(a-b)+b^{2}c(b-a)+c^{2}a(c-a)\geq 0$
Bắt đầu bởi khonggiohan, 08-10-2013 - 20:51
bất đẳng thức và cực trị
#1
Đã gửi 08-10-2013 - 20:51
khonggiohan
-
- Thành viên
-
- 53 Bài viết
Hạ sĩ
Đời cho tôi 1 vai diễn lớn, chỉ hiềm nỗi tôi không hiểu nổi cốt truyện
#2
Đã gửi 08-10-2013 - 21:15
nghiemthanhbach
-
- Thành viên
-
- 1056 Bài viết
$\sqrt{MF}'s\;friend$
Đây là bài IMO 1983 
Bất đẳng thức trên $\Leftrightarrow a^3b+b^3c+c^3a\geq \sum a^2b^2$
Giả sử không mất tính tổng quát $a\geq b\geq c$ khi đó ta dễ dàng chứng minh được: $\left\{\begin{matrix} bc\leq ac\leq \leq ab\\ a^2+bc\geq b^2+ac\geq c^2+ab \end{matrix}\right.$
Sử dụng bất đẳng thức hoán vị cho 2 dãy số (tự tham khảo) ta có:
$bc(a^2+bc)+ca(b^2+ca)+ab(c^2+ab)\leq \sum bc(b^2+ac)\Leftrightarrow \sum a^2b^2\leq \sum a^3b$
Vì là độ dài tam giác nên điều kiện là $a,b,c>0$ thì chứng minh đồng bậc là không được , xài kỹ thuật khác nhé
Thay đổi đk thì bđt vẫn đúng như thường thôi
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức và cực trị
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
