Chủ đề này có 4 trả lời

[namcpnh]

Tìm hàm liên tục $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa : $f(x^2f(x)+f(y))=(f(x))^3+y$ .

 

Mới tim tòi 1 cách giải hay về bài này, các bạn giải thử xem sao .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 31-10-2013 - 19:23

[Idie9xx]

Tìm hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa : $f(x^2f(x)+f(y))=(f(x))^3+y$ .

 

Mới tim tòi 1 cách giải hay về bài này, các bạn giải thử xem sao .

Bài này từng làm rồi nhể

http://diendantoanho...85-fx2fxfyfx3y/

Chứng minh đến đoạn $x>0\Rightarrow f(x)>0$

Rồi ta chũng minh $f$ tăng rồi biện luận $f(f(x))=x$ với các trường hợp $f(x)>x,f(x)<x$

[namcpnh]

Cách khác nè.

 

$x=0, y=-f(0)^3$ => $f(f(-f(0)^3))=0$

 

Đặt $a=f(-f(0)^3)$=> $f(a)=0$

 

Thay $x=a$ ta có : $f(0)=a=f(-f(0)^3)$.

 

Dễ thấy $f$ đơn ánh => $f(0)=0$

 

Từ đây dễ thấy $f(x+y)=f(x)+f(y)$ => $f(x)=ax$  => $f(x)=a$

[Tran Hoai Nghia]

Cách khác nè.

 

$x=0, y=-f(0)^3$ => $f(f(-f(0)^3))=0$

 

Đặt $a=f(-f(0)^3)$=> $f(a)=0$

 

Thay $x=a$ ta có : $f(0)=a=f(-f(0)^3)$.

 

Dễ thấy $f$ đơn ánh => $f(0)=0$

 

Từ đây dễ thấy $f(x+y)=f(x)+f(y)$ => $f(x)=ax$  => $f(x)=a$

Có điều mình thắc mắc trong bài làm của Nam là tại sao hàm số đơn ánh?

[namcpnh]

Có điều mình thắc mắc trong bài làm của Nam là tại sao hàm số đơn ánh?

 

GS tồn tại $y_1, y_2$ sao cho  $f(y_1)=f(y_2)$

 

Khi đó ta có $f(x^2f(x)+f(y_1))=f(x^2f(x)+f(y_2))$ => $f(x)^3+y_1=f(x)^3=y_2$

 

=> $y_1=y_2$ => $f$ đơn ánh.