Cho tam giác ABC. Kẻ trung tuyến AM, CN.Biết rằng $\widehat{BAM}=\widehat{BCN}=30^{\circ}$. Chứng minh tam giác ABC đều.
#1
Đã gửi 06-11-2013 - 20:03
- Yagami Raito, hoatuyet1483, gabong24 và 2 người khác yêu thích
------Trên bước đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng!-------
#2
Đã gửi 06-11-2013 - 20:17
Cho tam giác ABC. Kẻ trung tuyến AM, CN.Biết rằng $\widehat{BAM}=\widehat{BCN}=30^{\circ}$. Chứng minh tam giác ABC đều.
Hình tự vẽ nha bạn.
Tứ giác $ACMN$ có $\widehat{NAM}=\widehat{MCN}=30^{0}$ nên nội tiếp đường tròn tâm $O$ bán kính $R$ và $\widehat{MON}=2\widehat{NAM}=60^{0}$
Xét các phép đối xứng tâm $N$ và tâm $M$
$S_{(N)}:A \mapsto B$ và $(O) \mapsto (O_{1})\Rightarrow B\epsilon (O_{1})$ vì $A\epsilon (O)$
$S_{(M)}:C \mapsto B$ và $(O) \mapsto (O_{2})\Rightarrow B\epsilon (O_{2})$ vì $C\epsilon (O)$
Trong $\Delta OO_{1}O_{2}$ ta có nhân xét
$OO_{1}=OO_{2}=2R$
$\widehat{MON}=2\widehat{BAM}=60^{0}$
$\Rightarrow \Delta OO_{1}O_{2}$ đều
Mặt khác :
$O_{1}B+O_{2}B=R+R=2R=O_{1}O_{2}$ nên $B$ là trung điểm của $O_{1}O_{2}$
Từ đó suy ra hai $\Delta ABC,\Delta OO_{1}O_{2}$ đồng dạng ( vì cùng đồng dạng với $\Delta BMN$) và vì $\Delta OO_{1}O_{2}$ đều nên $\Delta ABC$ đều
- Yagami Raito, HungHuynh2508, dhdhn và 1 người khác yêu thích
#4
Đã gửi 24-11-2013 - 20:52
$\bigtriangleup ABM\sim \bigtriangleup CBN(g.g)$ =>$\frac{AB}{CB}=\frac{2AN}{2CM}=\frac{AN}{CM}=\frac{AM}{CN}$
=>$\bigtriangleup ABC$cân tại A (vì AB = CB).
Từ C kẻ CH vuông góc với AM
Xét tam giác vuông HAC có $\angle HAC=30^{\circ}=>CH=\frac{AC}{2} => tam giác CHM cân tại C có 2 góc đáy = 90 => H$\equiv$M
Vậy tam giác ABC đều
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Vu Thuy Linh: 24-11-2013 - 20:56
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: hình học phẳng
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Hình học →
Hình học phẳng →
a) PS^2 = PM^2 + SM.SN b) Đường thẳng HF song song với đường thẳng AB.Bắt đầu bởi Saturina, 16-02-2024 hình học phẳng |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Hình học →
a. Chứng minh rằng P, Q, T thẳng hàng. b. Chứng minh các đường thẳng PQ, BC và AY đồng quy.Bắt đầu bởi Saturina, 16-02-2024 hình học, hình học phẳng |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Hình học →
Chứng minh A,K,G thẳng hàngBắt đầu bởi ThanhBill, 06-01-2024 hình học phẳng, hình học |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Hình học →
Một số định lí về hình học phẳngBắt đầu bởi wrlong, 18-12-2023 hình học phẳng |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Hình học →
Hình học phẳng →
Chứng minh $K$ thuộc $(ABI)$ $\Leftrightarrow $ $K$ thuộc $(CDJ)$.Bắt đầu bởi thanhng2k7, 25-05-2023 hình học phẳng, hình thang và . |
|
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh