Chủ đề này có 3 trả lời

[dhdhn]

Cho tam giác ABC. Kẻ trung tuyến AM, CN.Biết rằng $\widehat{BAM}=\widehat{BCN}=30^{\circ}$. Chứng minh tam giác ABC đều.

[Rias Gremory]

Cho tam giác ABC. Kẻ trung tuyến AM, CN.Biết rằng $\widehat{BAM}=\widehat{BCN}=30^{\circ}$. Chứng minh tam giác ABC đều.

Hình tự vẽ nha bạn.

Tứ giác $ACMN$ có $\widehat{NAM}=\widehat{MCN}=30^{0}$ nên nội tiếp đường tròn tâm $O$ bán kính $R$ và $\widehat{MON}=2\widehat{NAM}=60^{0}$

Xét các phép đối xứng tâm $N$ và tâm $M$

$S_{(N)}:A \mapsto B$ và $(O) \mapsto (O_{1})\Rightarrow B\epsilon (O_{1})$ vì $A\epsilon (O)$

$S_{(M)}:C \mapsto B$ và $(O) \mapsto (O_{2})\Rightarrow B\epsilon (O_{2})$ vì $C\epsilon (O)$

Trong $\Delta OO_{1}O_{2}$ ta có nhân xét 

$OO_{1}=OO_{2}=2R$

$\widehat{MON}=2\widehat{BAM}=60^{0}$

$\Rightarrow \Delta OO_{1}O_{2}$ đều

Mặt khác : 

$O_{1}B+O_{2}B=R+R=2R=O_{1}O_{2}$ nên $B$ là trung điểm của $O_{1}O_{2}$

Từ đó suy ra hai $\Delta ABC,\Delta OO_{1}O_{2}$ đồng dạng ( vì cùng đồng dạng với $\Delta BMN$) và vì $\Delta OO_{1}O_{2}$ đều nên $\Delta ABC$ đều

[AnnieSally]

Tham khảo thêm tại đây

[Vu Thuy Linh]

$\bigtriangleup ABM\sim \bigtriangleup CBN(g.g)$ =>$\frac{AB}{CB}=\frac{2AN}{2CM}=\frac{AN}{CM}=\frac{AM}{CN}$

=>$\bigtriangleup ABC$cân tại A (vì AB = CB).

Từ C kẻ CH vuông góc với AM

Xét tam giác vuông HAC có $\angle HAC=30^{\circ}=>CH=\frac{AC}{2} => tam giác CHM cân tại C có 2 góc đáy = 90 => H$\equiv$M

Vậy tam giác ABC đều

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Vu Thuy Linh: 24-11-2013 - 20:56