Chủ đề này có 1 trả lời

[Tom Xe Om]

Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a+b+c=6abc CMR

\frac{bc}{a^3(c+2b)}+\frac{ca}{b^3(a+2c)}+\frac{ab}{c^3(b+2a)}\geq 2

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tom Xe Om: 19-03-2014 - 20:08

[angleofdarkness]

Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn $a+b+c=6abc \Rightarrow \sum \frac{1}{ab}=6$ CMR

$\frac{bc}{a^3(c+2b)}+\frac{ca}{b^3(a+2c)}+\frac{ab}{c^3(b+2a)}\geq 2$

 

Cauchy 2 số dương: $\frac{bc}{a^3(c+2b)}+\frac{c+2b}{9abc} \geq 2.\frac{1}{3a^2} $

 

$\Leftrightarrow \frac{bc}{a^3(c+2b)} \geq \frac{2}{3a^2}-\frac{c+2b}{9abc}=\frac{2}{3a^2}-\frac{1}{9ab}-\frac{2}{9ca}$

 

$\Rightarrow \sum \frac{bc}{a^3(c+2b)} \geq \sum \Big(\frac{2}{3a^2}-\frac{1}{9ab}-\frac{2}{9ca}\Big)=\frac{2}{3}.\sum \frac{1}{a^2}-\frac{1}{3}.\sum \frac{1}{ab}$

 

Tiếp tục dùng Cauchy 2 số thì có được $\sum \frac{1}{a^2} \geq \sum \frac{1}{ab}$

 

$\Rightarrow \sum \frac{bc}{a^3(c+2b)} \geq \frac{2}{3}.\sum \frac{1}{ab}-\frac{1}{3}.\sum \frac{1}{ab}=\frac{1}{3}.\sum \frac{1}{ab}$

 

Từ $a+b+c=6abc \Rightarrow \sum \frac{1}{ab}=6 \Rightarrow \sum \frac{bc}{a^3(c+2b)} \geq \frac{1}{3}.6=2$

 

đpcm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi angleofdarkness: 20-03-2014 - 11:53