5 replies to this topic

[Dam Uoc Mo]

Cho a,b,c>0.CMR:

$2-\frac{1}{2}.\frac{ab+bc+ca}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\leq \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\leq \frac{1}{2}+\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca}.$

[lahantaithe99]

Cho a,b,c>0.CMR:

$2-\frac{1}{2}.\frac{ab+bc+ca}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\leq \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\leq \frac{1}{2}+\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca}.$

Chứng minh vế đầu tiên

 

Vế 1 $\Leftrightarrow \frac{2a}{b+c}+\frac{2b}{c+a}+\frac{2c}{a+b}+\frac{ab+bc+ac}{a^2+b^2+c^2}\geqslant 4$

 

Mà $\sum\frac{2a}{b+c}=\sum\frac{2a^2}{ab+ac}\geqslant \frac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ac}$

 

Do đó ta đi cm $\frac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ac}+\frac{ab+bc+ac}{a^2+b^2+c^2}\geqslant 4$

 

Áp dụng BĐT Cô si

 

$\frac{(a+b+c)^2}{3(ab+bc+ac)}+\frac{(a+b+c)^2}{3(ab+bc+ac)}+\frac{(a+b+c)^2}{3(ab+bc+ac)}+\frac{ab+bc+ac}{a^2+b^2+c^2}\geqslant 4\sqrt[4]{\frac{(a+b+c)^6}{27(ab+bc+ca)^2(a^2+b^2+c^2)}}$

 

$\geqslant 4\sqrt[4]{\frac{(a+b+c)^6}{27.\frac{(2ab+2bc+2ac+a^2+b^2+c^2)^3}{27}}}=4$

 

Do đó ta có đpcm

[Hoang Tung 126]

Cho a,b,c>0.CMR:

$2-\frac{1}{2}.\frac{ab+bc+ca}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\leq \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\leq \frac{1}{2}+\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca}.$

Ta có các hằng đẳng thức :$\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ac}-1=\frac{1}{2}((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)$

         $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}-\frac{3}{2}=\frac{1}{2}(\frac{(a-b)^2}{(c+a)(c+b)}+\frac{(b-c)^2}{(b+a)(c+a)}+\frac{(c-a)^2}{(c+b)(a+b)})$

Do đó BĐT $< = > (\sum \frac{a}{b+c}-\frac{3}{2})\leq \frac{(a^2+b^2+c^2)}{ab+bc+ac}-1< = > \frac{1}{2}\sum \frac{(a-b)^2}{(c+a)(c+b)}\leq \frac{1}{2}.\frac{\sum (a-b)^2}{\sum ab}= > \sum (a-b)^2(\frac{1}{\sum ab}-\frac{1}{(c+a)(c+b)})\geq 0< = > \sum (a-b)^2.(\frac{c^2}{(\sum ab)(c+a)(c+b)})\geq 0< = > \sum \frac{c^2(a-b)^2}{(\sum ab)(c+a)(c+b)}\geq 0$ (Luôn đúng)

Edited by Hoang Tung 126, 29-03-2014 - 19:34.

[Dam Uoc Mo]

Ta có các hằng đẳng thức :$\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ac}-1=\frac{1}{2}((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)$

         $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}-\frac{3}{2}=\frac{1}{2}(\frac{(a-b)^2}{(c+a)(c+b)}+\frac{(b-c)^2}{(b+a)(c+a)}+\frac{(c-a)^2}{(c+b)(a+b)})$

Do đó BĐT $< = > (\sum \frac{a}{b+c}-\frac{3}{2})\leq \frac{(a^2+b^2+c^2)}{ab+bc+ac}-1< = > \frac{1}{2}\sum \frac{(a-b)^2}{(c+a)(c+b)}\leq \frac{1}{2}.\frac{\sum (a-b)^2}{\sum ab}= > \sum (a-b)^2(\frac{1}{\sum ab}-\frac{1}{(c+a)(c+b)})\geq 0< = > \sum (a-b)^2.(\frac{c^2}{(\sum ab)(c+a)(c+b)})\geq 0< = > \sum \frac{c^2(a-b)^2}{(\sum ab)(c+a)(c+b)}\geq 0$ (Luôn đúng)

Anh cho em hỏi cái hằng đẳng thức thứ 2 cm ra sao?

[Hoang Tung 126]

Anh cho em hỏi cái hằng đẳng thức thứ 2 cm ra sao?

nó biến đổi tương đương thôi

[Dam Uoc Mo]

nó biến đổi tương đương thôi

Em làm mà chưa ra,anh cụ thể giùm em với.