2 replies to this topic

[hoangson2598]

Cho 3 số x,y,z dương. Thoả mãn: xy+xz+yz=1.Tìm giá trị nhỏ nhất của:

$P=\sum \frac{x}{\sqrt{3}y+yz}$ 

[banhgaongonngon]

Cho 3 số x,y,z dương. Thoả mãn: xy+xz+yz=1.Tìm giá trị nhỏ nhất của:

$P=\sum \frac{x}{\sqrt{3}y+yz}$ 

 

Từ giả thiết suy ra $1=xy+yz+zx\geq 3\sqrt[3]{(xyz)^{2}}\Rightarrow xyz\leq \frac{1}{3\sqrt{3}}$

 

Áp dụng bất đẳng thức $C-S$ ta có

$\sum \frac{x}{y\sqrt{3}+yz}\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{\sqrt{3}+3xyz}\geq \frac{3(xy+yz+zx)}{\sqrt{3}+1/\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{3}}{4}$

 

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}$

Edited by banhgaongonngon, 14-06-2014 - 16:43.

[megamewtwo]

Ta có : $P=\sum \frac{x}{\sqrt{3}y+yz}= \sum \frac{x^{2}}{\sqrt{3}xy+xyz}\geq \frac{\left ( x+y+z \right )^{2}}{\sqrt{3}\left ( xy+yz+xz \right )+3xyz}\geq \frac{3\left ( xy+yz+zx \right )}{\sqrt{3}\left ( xy+yz+xz \right )+3xyz}\geq \frac{3\sqrt{3}}{4}$