Chủ đề này có 3 trả lời

[ttpro1999]

Chứng minh rằng với 3 số thực dương a,b,c bất ki8f:

$\sum \sqrt{\frac{a}{a+b}}\leq \frac{3}{\sqrt{2}}$

File gửi kèm

•  untitled4.bmp   5.43K   106 Số lần tải

[chardhdmovies]

Chứng minh rằng với 3 số thực dương a,b,c bất ki8f:

$\sum \sqrt{\frac{a}{a+b}}\leq \frac{3}{\sqrt{2}}$

ta có $(\sum \sqrt{\frac{a}{a+b}})^2\leq [\sum (a+c)][\sum \frac{a}{(a+b)(a+c)}]=\frac{4(a+b+c)(ab+bc+ca)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$

                                                      $\leq \frac{4.\frac{9}{8}(a+b)(b+c)(c+a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}=\frac{9}{2}$

do đó có đpcm

 

                                                                                   NTP

[chardhdmovies]

Một cách khác dùng $AM-GM$ $\sum\sqrt{\frac{a}{a+b}}=\frac{1}{\sqrt2}.\sum \sqrt{\frac{4a(a+b+c)}{3(a+b)(a+c)}.\frac{3(a+c)}{2(a+b+c)}}\leq \frac{1}{2\sqrt{2}}\sum\frac{4a(a+b+c)}{3(a+b)(a+c)}+\frac{3(a+c)}{2(a+b+c)}=\frac{\sqrt2}{3}\sum\frac{a(a+b+c)}{(a+b)(a+c)}+\frac{3}{4\sqrt2}\sum \frac{a+b}{a+b+c}=\frac{\sqrt2}{3}\sum \frac{a(a+b+c)}{(a+b)(a+c)}+\frac{3}{2\sqrt2}$

Ta phải chứng minh $\sum \frac{a(a+b+c)}{(a+b)(a+c)}\leq \frac{9}{4}<=> (a+b+c)(ab+ac+bc)\leq \frac{9}{8}(a+b)(a+c)(b+c)$(luôn đúng)

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$ $Q.E.D$

Tớ là A-Q:)

[David le]

đặt $a=x^2, b=y^2, c=z^2$

ta có $\sum \sqrt{\frac {a}{a+b}} \geq \sqrt{2}\sum \frac {x}{z+y} \geq \frac {3}{\sqrt{2}}$