3 replies to this topic

[19kvh97]

Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R};g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn các điều kiện sau:

 $\left\{\begin{matrix} \vee x,y \epsilon \mathbb{R}: 2f(x)-g(x)=f(y)-y & & \\ \vee x\epsilon \mathbb{R}: f(x)g(x)\geq x+1 & & \end{matrix}\right.$

[phamxuanvinh08101997]

Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R};g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn các điều kiện sau:

 $\left\{\begin{matrix} \vee x,y \epsilon \mathbb{R}: 2f(x)-g(x)=f(y)-y & & \\ \vee x\epsilon \mathbb{R}: f(x)g(x)\geq x+1 & & \end{matrix}\right.$

Lấy x=y=0 ta có \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{f(0) = g(0)}\\{f(0)g(0) \ge 1}\end{array}} \right.\]

lấy y thay bằng x ta có \[g(x) = f(x) + x\] ,lấy x=0,thay y bới x ta có \[f(x) = x + f(0)\]

Suy ra \[g(x) = 2x + g(0)\]

hay\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{f(x) = x + c}\\{g(x) = 2x + c}\end{array},\forall x \in ,c = kconst} \right.\], thử lại thấy thỏa mãn

P/s:hơi ngu món này ,nếu sai xin thông cảm)

Edited by phamxuanvinh08101997, 21-09-2014 - 16:56.

[19kvh97]

 

Lấy x=y=0 ta có \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{f(0) = g(0)}\\{f(0)g(0) \ge 1}\end{array}} \right.\]

lấy y thay bằng x ta có \[g(x) = f(x) + x\] ,lấy x=0,thay y bới x ta có \[f(x) = x + f(0)\]

Suy ra \[g(x) = 2x + g(0)\]

hay\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{f(x) = x + c}\\{g(x) = 2x + c}\end{array},\forall x \in ,c = kconst} \right.\], thử lại thấy thỏa mãn

P/s:hơi ngu món này ,nếu sai xin thông cảm)

 

t cũng làm đến đó rồi nhưng mà còn điều kiện thứ $2$ vẫn chưa thỏa mãn hết đâu 

[chanhquocnghiem]

Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R};g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn các điều kiện sau:

 $\left\{\begin{matrix} \vee x,y \epsilon \mathbb{R}: 2f(x)-g(x)=f(y)-y & & \\ \vee x\epsilon \mathbb{R}: f(x)g(x)\geq x+1 & & \end{matrix}\right.$

Cho $y=x$, từ pt thứ nhất suy ra $g(x)=f(x)+x$ (3)

Từ pt thứ nhất và (3) lại suy ra $f(x)-x=f(y)-y$ ---> $f(x)-f(y)=x-y$ với mọi $x,y$ (4)

(4) ---> $f'(x)=1$ với mọi $x$ 

---> $f(x)$ có dạng $x+c$ và $g(x)$ có dạng $2x+c$ ($c$ là hằng số)

Từ pt thứ hai, ta có $(x+c)(x+2c)\geqslant x+1,\forall x\Leftrightarrow 2x^2+(3c-1)x+c^2-1\geqslant 0,\forall x\Leftrightarrow \Delta =c^2-6c+9\leqslant 0\Leftrightarrow c=3$

Vậy :

$\left\{\begin{matrix}f(x)=x+3\\g(x)=2x+3 \end{matrix}\right.$

là đáp án duy nhất.