Chủ đề này có 3 trả lời

[voicoidangyeu2602]

Cho a, b, c > 0 sao cho ab + bc + ca ≤ 3abc. Cm:
$a + b + c ≤ a^{3} + b^{3} + c^{3}$

[TMW]

Cho a, b, c > 0 sao cho ab + bc + ca ≤ 3abc. Cm:
$a + b + c ≤ a^{3} + b^{3} + c^{3}$

Bài nầy cũng được:

    + Đổi biến bài toán đi cho dễ quản lý: $\frac{1}{a}=x$ , $\frac{1}{b}=y$ , $\frac{1}{c}=z$

                           x + y +z <=3

    + Cần chứng minh : $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}+\frac{1}{z}\leq \frac{1}{x^{3}}+\frac{1}{y^{3}}+\frac{1}{z^{3}}$ (*)

                     Tiếp tục đặt: A = xy, B=yz và C = zx.   do x + y +z <=3 nên xyz <=1 => ABC <= 1           

       (*) trở  thành:   

                     $(A+B+C)(ABC)^{2}\leq A^{3}+B^{3}+C^{3}$ (**)

      $A^{3} + B^{3}+ C^{3}\geq \frac{A+B+C}{3}(A^{2}+B^{2}+C^{2})\geq (A+B+C)(\sqrt[3]{A^{2}B^{2}C^{2}})\geq (A+B+C)(ABC)$ ( dùng cô si, ABC<=1)

Vậy ta có đ.p.c.m

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TMW: 16-10-2014 - 19:31

[dogsteven]

$3 \geqslant \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} \geqslant \dfrac{9}{a+b+c} \Leftrightarrow a+b+c \geqslant 3$

 

$a^3+1+1 \geqslant 3a$

 

Tương tự ta được $a^3+b^3+c^3 \geqslant a+b+c+2(a+b+c)-6 \geqslant a+b+c$

[David le]

ta có $\frac {9}{\sum a} \leq \sum \frac {1}{a} \leq 3 , $

mà $\sum a^3 \geq \frac{(\sum a)^3}{9}   dpcm$