Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn
$f(xf(x)+f(y))=f^2(x)+y$ với mọi số thực $x,y$
Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn
$f(xf(x)+f(y))=f^2(x)+y$ với mọi số thực $x,y$ (1)
đầu tiên CM f(0)=0
từ (1) thay x=0 suy ra f(f(y))=f^2(0)+y (2)
hàm song ánh
tồn tại a để f(a)=0
(1) THAY x=y=a
suy ra f(0)=a
(2) thay y=a
suy ra f(0)=f^2(0)+a suy ra ĐPCM
quay lại bài
suy ra được
$$\left\{\begin{matrix} f(f(y))=y\\f(xf(x))=f^{2}(x) \end{matrix}\right.$$
thay x=f(x) ở pt 2 suy ra $f(xf(x))=x^{2}$
đến đây suy ra f^2(x)=x^2
đến đây còn bl thêm nhưng mình chưa rõ lắm
mong các bạn bổ sung
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tohoproirac: 20-10-2014 - 21:36
<3 Mãi mãi một tình yêu <3
赵薇苏有朋
Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn
$f(xf(x)+f(y))=f^2(x)+y$ với mọi số thực $x,y$
$f(xf(x)+f(y))=f^2(x)+y$ (1)
Dễ thấy $f$ song ánh, do đó tồn tại duy nhất một giá trị $a\epsilon R$ thoả $f(a)=0$
Trong (1) cho $x=y=a$ ta được:
$f(af(a)+f(a))=f^2(a)+a\Rightarrow f(0)=a \Rightarrow f(0)=f(a)\Rightarrow a=0\Rightarrow f(0)=0$
Cũng trong (1), cho $x=0\Rightarrow f(f(y))=y\Rightarrow f(f(x))=x $ (2)
cho $y=0\Rightarrow f(xf(x))=f^2(x)$ (3)
Trong (3) thay $x$ bởi $f(x)$ ta được $f(f(x).f(f(x)))=f^2(f(x))\Rightarrow f(f(x).x)=x^2$ (do (2))
Suy ra $f^2(x)=x^2$
Do đó $f(x)=x$ hoặc $f(x)=-x$
Thử lại cả hai đều thoả mãn, Vậy $f(x)=x$ hoặc $f(x)=-x$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LuoiHocNhatLop: 20-10-2014 - 21:53
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(x+xy+f(y)) = (f(x)+\frac{1}{2})(f(y)+\frac{1}{2})$Bắt đầu bởi Explorer, 07-08-2022 pth, số thực, đơn ánh, toàn ánh |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(x+f(x+y))=f(x+f(y))+x$Bắt đầu bởi poset, 18-05-2021 pth |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Giải tích →
Hàm số - Đạo hàm →
$f(xf(x)+f(y))=f^{2}(x)+y$Bắt đầu bởi hoangkimca2k2, 11-06-2018 pth |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Giải tích →
Hàm số - Đạo hàm →
$f(x^{2})+f(xy)=f(x)f(y)+...$Bắt đầu bởi hoangkimca2k2, 22-05-2018 pth |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f_{(2003)}(n)=5n\,\forall n$Bắt đầu bởi namcpnh, 12-02-2018 pth, namcpnh |
|
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh