Chủ đề này có 2 trả lời

[19kvh97]

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn

$f(xf(x)+f(y))=f^2(x)+y$ với mọi số thực $x,y$

[tohoproirac]

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn

$f(xf(x)+f(y))=f^2(x)+y$ với mọi số thực $x,y$                     (1)

 

đầu tiên CM f(0)=0

từ (1) thay x=0 suy ra f(f(y))=f^2(0)+y                              (2)

hàm song ánh

tồn tại a để f(a)=0

(1) THAY x=y=a 

suy ra f(0)=a

(2) thay y=a

suy ra f(0)=f^2(0)+a suy ra ĐPCM

quay lại bài

suy ra được 

$$\left\{\begin{matrix} f(f(y))=y\\f(xf(x))=f^{2}(x) \end{matrix}\right.$$

thay x=f(x) ở pt 2 suy ra $f(xf(x))=x^{2}$

đến đây suy ra f^2(x)=x^2

đến đây còn bl thêm nhưng mình chưa rõ lắm

mong các bạn bổ sung 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tohoproirac: 20-10-2014 - 21:36

[LuoiHocNhatLop]

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn

$f(xf(x)+f(y))=f^2(x)+y$ với mọi số thực $x,y$

$f(xf(x)+f(y))=f^2(x)+y$ (1)
Dễ thấy $f$  song ánh, do đó tồn tại duy nhất một giá trị $a\epsilon R$ thoả $f(a)=0$
Trong (1) cho $x=y=a$ ta được:
$f(af(a)+f(a))=f^2(a)+a\Rightarrow f(0)=a \Rightarrow f(0)=f(a)\Rightarrow a=0\Rightarrow f(0)=0$
Cũng trong (1), cho $x=0\Rightarrow f(f(y))=y\Rightarrow f(f(x))=x $ (2)
                         cho $y=0\Rightarrow f(xf(x))=f^2(x)$ (3)
Trong (3) thay $x$ bởi $f(x)$ ta được $f(f(x).f(f(x)))=f^2(f(x))\Rightarrow f(f(x).x)=x^2$ (do (2))
Suy ra $f^2(x)=x^2$
Do đó $f(x)=x$ hoặc $f(x)=-x$
Thử lại cả hai đều thoả mãn, Vậy $f(x)=x$ hoặc $f(x)=-x$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LuoiHocNhatLop: 20-10-2014 - 21:53