Chủ đề này có 4 trả lời

[Nguyen Duc Phu]

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thi $n^2+n+1$ không chia hết cho 9.

[tandatcr2000pro]

A=$n^{2}+n+1$

Nếu n chia hết cho 3 hay chia 3 dư 2 thì A không chia hết cho 3 => A không chia hết cho 9

Nếu n chia 3 dư 1 thì n=3k+1, khi đó

$A=(3k+1)^{2}+3k+2 =9k^{2}+9k+3$ không chia hết cho 9.

Ta có đpcm

[misschpro]

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thi $n^2+n+1$ không chia hết cho 9.

giả sử A chia hết cho 9. đặt A=$n^{2}+n+1=9k$ $k\in Z$

$\Leftrightarrow n^{2}+n+1-9k=0$        (1)

$\Delta =1-4(1-9k)=36k-3$

Xét B=36k-3 thấy B chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9

$\Leftrightarrow$ B không là số chính phương hay phương trình (1) không có nghiệm nguyên

Do đó điều giả sử sai $\Rightarrow$ đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi misschpro: 05-04-2015 - 17:24

[hoctrocuaHolmes]

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thi $n^2+n+1$ không chia hết cho 9.

Xét:

th1:n=3k thì $n^2+n+1$=$9k^{2}+3k+1$ chia 3 dư 1 nên không chia hết cho 9

th2:n=3k+1 thì $n^2+n+1$=$9k^{2}+9k+3$ chia 9 dư 3 nên không chia hết cho 9

th3:n=3k+2 thì $n^2+n+1$=$9k^{2}+15k+7$ chia 3 dư 1 nên không chia hết cho 9

Kết luận:với mọi số tự nhiên n thi $n^2+n+1$ không chia hết cho 9.

[My Linh Vietnamese]

Ta có $n^2+n+1=n^2+n-2+3=(n-1)(n+2)+3$
Giả sử $n^2+n+1$ chia hết cho 9 thì $(n+2)(n-1)+3$ chia hết cho 3.
Suy ra $(n-1)(n+2)$ chia hết cho 3. (1)
Mặt khác ta lại có $(n+2)-(n-1)=3$ nên $n+2$ và $n-1$ có cùng số dư khi chia cho 3
Từ (1) suy ra $(n-1)(n+2)$ chia hết cho 9 mà $n^2+n+1$ chia hết cho 9. Suy ra 3 chia hết cho 9. Vô lý
Vậy điều giả sử là sai. Đpcm