Chủ đề này có 3 trả lời

[vda2000]

Phòng GD&ĐT                                                                         Đề thi học sinh giỏi cấp thành phố 

TP. Bắc Giang                                                                                     Năm học: 2014-2015

                                                                                                               Môn: Toán lớp 9

                                                                                                       Thời gian làm bài: 150 phút

Câu 1:

a/ Cho biểu thức H = $(\dfrac{a-b}{\sqrt{a^{2}-b^{2}}-a+b}+\dfrac{\sqrt{a-b}}{\sqrt{a+b}+\sqrt{a-b}}).\dfrac{a^{2}+3b^{2}}{\sqrt{a^{2}-b^{2}}}$ với $a>b>0$

Biết $a-b=1$. Tìm GTNN của H.

b/ Cho ba số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn: $a+b+c=\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=2$

Tính giá trị của: M=$\sum\dfrac{1+a}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$

 

Câu 2:

a/ Tìm $x,y$ nguyên thỏa mãn: $x^{2}(y^{2}-5)=y(y-x)$

b/ Giải phương trình: $4\sqrt{x^{3}+3x^{2}}+2\sqrt{2x-1}=4x^{2}+3x+3$

 

Câu 3:

a/ Tìm $a$ biết $a +\sqrt{24}$ và $\dfrac{1}{a}-\sqrt{24}$ là các số nguyên

b/ Cho $a,b,c$ dương thỏa mãn: $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{3}{2}$

Tìm GTLN của:

H =$\dfrac{1}{\sqrt{5a^{2}+2ab+2b^{2}}}+\dfrac{1}{\sqrt{5b^{2}+2bc+2c^{2}}}+\dfrac{1}{\sqrt{5c^{2}+2ca+2a^{2}}}$

 

Câu 4:

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ ($AB<AC$). Độ dài 3 cạnh lần lượt là $c,b,a$. Vẽ đường cao $AH$. Vẽ đường tròn $(O;R)$ nội tiếp tam giác $ABC$ và tiếp xúc các cạnh $AB,BC,CA$ lần lượt tại $M,N,E$. Gọi $I$ là trung điểm $AC$. $IO$ căt $AB$ tại $K$. $ME$ cắt $AH$ tại $G$. Chứng minh rằng

a/  $AO$=$\dfrac{\sqrt{2}}{2} (b+c-\sqrt{b^{2}+c^{2}})$

b/ Chứng minh S_ABC=$EB.EC$

c/ $AK=AG$

 

Câu 5: 

Cho $2014$ số không âm thỏa mãn: 

+) Tổng các số bằng $3$.

+) Tổng bình phương các số bằng $1$.

Chứng minh trong $2014$ số trên luôn tồn tại $3$ số có tổng lớn hơn hoặc bằng $1$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vda2000: 18-01-2015 - 22:56

[Nguyen Minh Hai]

Phòng GD&ĐT                                                                         Đề thi học sinh giỏi cấp thành phố 

TP. Bắc Giang                                                                                     Năm học: 2014-2015

                                                                                                               Môn: Toán lớp 9

                                                                                                       Thời gian làm bài: 150 phút

Câu 1:

a/ Cho biểu thức H = $(\dfrac{a-b}{\sqrt{a^{2}-b^{2}}-a+b}+\dfrac{\sqrt{a-b}}{\sqrt{a+b}+\sqrt{a-b}}).\dfrac{a^{2}+3b^{2}}{\sqrt{a^{2}-b^{2}}}$ với $a>b>0$

Biết $a-b=1$. Tìm GTNN của H.

b/ Cho ba số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn: $a+b+c=\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=2$

Tính giá trị của: M=$\sum\dfrac{1+a}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$

 

 

Dễ trước:
a) Thế $a-b=1$ vào và thu gọn bằng phép biến đổi thông thường ta được:
$H=\frac{2(a^2+3b^2)}{a+b-1}$ (1)

Thế $a=b+1$ vào (1) ta được:
$H=2.\frac{(b+1)^2+3b^2}{2b}=\frac{4b^2+2b+1}{b}=4b+\frac{1}{b}+2 \geq 2\sqrt{4b.\frac{1}{b}}+2=6$

$\Rightarrow MIN_{H}=6$. xảy ra dấu "=" khi: $b=\frac{1}{2},a=\frac{3}{2}$

b) Từ giả thiết ta có:

$4=(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2=a+b+c+2(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})$

$\Rightarrow \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}=1$

$\Rightarrow \frac{a+1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{a+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{b}+\sqrt{c})}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\sqrt{b}+\sqrt{c}$

Tương tự, ta suy ra được:

$M=2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})=4$

[hoctrocuaZel]

Câu 2:

a/ Tìm $x,y$ nguyên thỏa mãn: $x^{2}(y^{2}-5)=y(y-x)$

b/ Giải phương trình: $4\sqrt{x^{3}+3x^{2}}+2\sqrt{2x-1}=4x^{2}+3x+3$

 

Câu 3:

a/ Tìm $a$ biết $a +\sqrt{24}$ và $\dfrac{1}{a}-\sqrt{24}$ là các số nguyên

2/ a/ $LHS\Leftrightarrow (x^2-1)y^2+xy-5x^2=0;\Delta _{x\neq \pm 1}=x^2+20x^2(x^2-1)=x^2(20x^2-19)=t^2$.

b/ Using $AM-GM$, we have: $LHS=4x\sqrt{x+3}+2.\sqrt{(2x-1).1}\leq x(x+7)+2x\Leftrightarrow 4x^2+3x+3\leq x^2+9x\Leftrightarrow (x-1)^2\leq 0$.

$=>x=1$.

3/a/ $(a+\sqrt{24};\frac{1}{a}-\sqrt{24})\rightarrow (x,y)\Rightarrow (x-\sqrt{24})(y+\sqrt{24})=1\Rightarrow x=y\Rightarrow a-\frac{1}{a}+2.\sqrt{24}=0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Huong TH Phan: 19-01-2015 - 11:50
ưng

[Nguyen Minh Hai]

 

 

Câu 3:

b/ Cho $a,b,c$ dương thỏa mãn: $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{3}{2}$

Tìm GTLN của:

H =$\dfrac{1}{\sqrt{5a^{2}+2ab+2b^{2}}}+\dfrac{1}{\sqrt{5b^{2}+2bc+2c^{2}}}+\dfrac{1}{\sqrt{5c^{2}+2ca+2a^{2}}}$

 

Ta có: $5a^2+2ab+2b^2=(2a+b)^2+(a-b)^2 \geq (2a+b)^2$  

$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{5a^2+2ab+2b^2}} \leq \frac{1}{2a+b}=\frac{1}{a+a+b}\leq\frac{1}{3\sqrt[3]{aab}}=\frac{1}{3.}\sqrt[3]{\frac{1}{a}.\frac{1}{a}.\frac{1}{b}}\leq \frac{1}{9}(\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b})$

Thiết lập các bđt tương tự rồi cộng theo vế ta được:

$H \leq \frac{1}{3}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) = \frac{1}{2}$

Xảy ra dấu "=" khi $a=b=c=2$