Chủ đề này có 3 trả lời

[100oC]

Cho các số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng:

$$\dfrac{1}{b^2+c^2+2}+\dfrac{1}{c^2+a^2+2}+\dfrac{1}{a^2+b^2+2}\leqslant \dfrac{3}{4}$$

[vda2000]

 Nhầm :v 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vda2000: 19-02-2015 - 22:58

[lahantaithe99]

Cho các số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng:

$$\dfrac{1}{b^2+c^2+2}+\dfrac{1}{c^2+a^2+2}+\dfrac{1}{a^2+b^2+2}\leqslant \dfrac{3}{4}$$

 

Khai bút mùng 2

 

BĐT cần chứng minh $\sum \frac{b^2+c^2}{b^2+c^2+2}\geqslant \frac{3}{2}\Leftrightarrow \sum \frac{(b+c)^2+(b-c)^2}{b^2+c^2+2}\geqslant 3$

 

Áp dụng BĐT Cauchy Schwarz ta có

 

$\sum \frac{(b+c)^2}{b^2+c^2+2}\geqslant \frac{4(a+b+c)^2}{2(a^2+b^2+c^2)+6}$ và $\sum \frac{(b-c)^2}{b^2+c^2+2}\geqslant \frac{[(a-b)+(b-c)+(a-c)]^2}{2(a^2+b^2+c^2)+6}=\frac{4(a-c)^2}{2(a^2+b^2+c^2)+6}$

 

Ta cần chứng minh

 

$\frac{4(a+b+c)^2+4(a-c)^2}{2(a^2+b^2+c^2)+6 }\geqslant 3\Leftrightarrow (a+b+c)^2+2(a-c)^2\geqslant 3(a^2+b^2+c^2)$

 

$\Leftrightarrow ab+bc-ac-b^2\geqslant 0\Leftrightarrow (a-b)(b-c)\geqslant 0$ $(*)$

 

Đến đây ta chỉ cần giả sử $a\geqslant b\geqslant c$ thì BĐT $(*)$ luôn đúng nên ta có đpm

 

Dấu $=$ khi $a=b=c=1$

[NMDuc98]

Cho các số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng:

$$\dfrac{1}{b^2+c^2+2}+\dfrac{1}{c^2+a^2+2}+\dfrac{1}{a^2+b^2+2}\leqslant \dfrac{3}{4}$$

Bài toán khá hay đó! Bạn tham khảo thêm ở đây:   Điều kiện ít nhất-VQBC.pdf   252.85K   92 Số lần tải