Chủ đề này có 2 trả lời

[Andora]

Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a. M, N lần lượt là 2 điểm thuộc BC và DC sao cho góc MAN luôn bằng 45˚. Tìm MAX, MIN của diện tích tam giác AMN

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kimchitwinkle: 09-08-2015 - 20:43

[Chung Anh]

Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a. M, N lần lượt là 2 điểm thuộc BC và DC sao cho góc MAN luôn bằng 45˚. Tìm MAX, MIN của diện tích tam giác AMN

Lấy E thuộc tia đối của DC sao cho $DE=BM$  

Dễ chứng minh $\Delta ADE=\Delta ABM\Rightarrow \Delta AMN=\Delta AEN(c.g.c)$

                        $\Rightarrow S_{AMN}=S_{AEN}=S_{ABM}+S_{ADN}$

                        $\Rightarrow 2S_{AMN}+S_{CMN}=S_{ABCD}=a^2 $

*Do $S_{CMN}\geq 0\Rightarrow S_{AMN}\leq \frac{a^2}{2}\Rightarrow MaxS_{AMN}=\frac{a^2}{2} $

*Đặt $CM=y;CN=x; S_{CMN}=S$

=>$MN=EN=ND+ED=(a-x)+(a-y)=2a-x-y$

=>$x^2+y^2=(2a-x-y)^2$

<=>$2a^2-2a(x+y)+xy=0$

<=>$2a^2+2S=2(x+y) \geq 2.2a\sqrt{xy}=4a.\sqrt{2S} $

<=>$a^2-2a\sqrt{2S}+S\geq 0 $

<=>$\left ( a-(\sqrt{2}+1)\sqrt{S} \right )(a-(\sqrt{2}-1)\sqrt{S})\geq 0 $

Mà $a+a> x+y\Rightarrow a> \frac{x+y}{2}\geq \frac{2\sqrt{xy}}{2}=\sqrt{2S}\Rightarrow a-\sqrt{2S}+\sqrt{S}> 0\Rightarrow a-(\sqrt{2}-1)\sqrt{S}> 0$

=>$ a-(\sqrt{2}+1)\sqrt{S}\geq  0\Rightarrow a^2\geqslant (3+2\sqrt{2})S\Rightarrow S\leq \frac{a^2}{3+2\sqrt{2}} $

=>$S_{AMN}\geq \frac{a^2-\frac{a^2}{3+2\sqrt{2}}}{2}=\frac{(1+\sqrt{2})a^2}{3+2\sqrt{2}} $

Vậy...

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Chung Anh: 09-08-2015 - 22:18

[Andora]

Cảm ơn bạn nhiều