Chủ đề này có 1 trả lời

[ngocsonthuy]

Giả sử a, b > 0 và c = a + b. Chứng minh rằng $\sqrt{a}+\sqrt{b}>\sqrt{c} và  \sqrt{a^{3}}+\sqrt{b^{3}}<\sqrt{c^{3}}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ngocsonthuy: 17-09-2015 - 08:18

[Responsive Creature]

$\sqrt{a}+\sqrt{b} > \sqrt{c} \Leftrightarrow \sqrt{a}+\sqrt{b} > \sqrt{a+b}$

$\Leftrightarrow a+b+2\sqrt{ab} > a+b$ (đúng vì a, b > 0)

 

$\sqrt{a^{3}}+\sqrt{b^{3}}<\sqrt{c^{3}}\Leftrightarrow \sqrt{a^{3}}+\sqrt{b^{3}}<\sqrt{(a+b)^{3}}$

$\Leftrightarrow a^{3}+b^{3}+2\sqrt{a^{3}b^{3}} < a^{3}+b^{3}+3ab(a+b)$

Mà: $3ab(a+b) \geq 6ab\sqrt{ab} = 6\sqrt{a^{3}b^{3}} > 2\sqrt{a^{3}b^{3}}$ (đúng vì a, b > 0)

 

Vậy ta có đpcm