Chủ đề này có 2 trả lời

[dkhoan]

Cho 3 số a,b,c thỏa mãn $1\leq a,b,c\leq 3,a+b+c=6.Tìm max P=a^{2}+b^{2}+c^{2}$

[dogsteven]

Đặt $a=2+x, b=2+y, c=2+z$ thì $x,y,z\in [-1,1]$ và $x+y+z=0$

Ta có $P=x^2+y^2+z^2+12\leqslant |x|+|y|+|z|+12$

Nhận xét rằng trong ba số $x,y,z$ luôn tồn tại hai số cùng dấu, giả sử là $x$ và $y$ thì $P\leqslant |x+y|+|z|+12=2|z|+12\leqslant 14$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=1, b=2, c=3$ và các hoán vị.

[meomunsociu]

Cho 3 số a,b,c thỏa mãn $1\leq a,b,c\leq 3,a+b+c=6.Tìm max P=a^{2}+b^{2}+c^{2}$Ta có : $a^{2}+b^{2}+c^{2}=a^2+(b+c)^2-2bc=a^2+(6-a)^2-2bc$

Giả sử a=max(a;b;c). Do $1\leq a;b;c\leq 3$ và $a+b+c=6$ nên $2\leq a\leq 3$

=> $(a-2)(a-3)\leq 0$

Ta có : $a^2+b^2+c^2=a^2+(b+c)^2-2bc=a^2+(6-a)^2-2bc$

Vì $1\leq b;c\leq 3$ nên $(b-1)(c-1)\geq 0$

                               <=> $bc\geq b+c-1$

                               <=> $-2bc\leq -2(b+c)+2$

Suy ra $a^2+b^2+c^2\leq a^2+(6-a)^2-2(b+c)+2$

hay P $\leq 2a^2-10a+26$ 

Mà $2a^2-10a+26=2(a-2)(a-3)+14\leq 14$ (vì $(a-2)(a-3)\leq 0$)

=> P $\leq 14$

Dấu "=" xảy ra <=> a=1;b=2;c=3 và các hoán vị.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi meomunsociu: 11-12-2015 - 15:31