Chủ đề này có 4 trả lời

[Ego]

Tìm tất cả $f: \mathbb{Z}^{+} \to \mathbb{Z}^{+}$ sao cho $f(x).f(f(x)) = x^{2}$

KLQ nhưng mình có lời giải rất đẹp, tuy nhiên không biết đúng không

[superpower]

Tìm tất cả $f: \mathbb{Z}^{+} \to \mathbb{Z}^{+}$ sao cho $f(x).f(f(x)) = x^{2}$

KLQ nhưng mình có lời giải rất đẹp, tuy nhiên không biết đúng không

$x=1 => f(1)f(f(1)) =1 $

Suy ra $f(1)=1 $

Dễ thây $f$ đơn ánh 

$x=2 => f(2)f(f(2))= 4 $

Suy ra $f(2) \in {1;2;4} $

TH1: $f(2)=1$ vô lý

TH2: $f(2)=4 => 4f(4) =4 => f(4)=1 => f(4)f(f(4))=1 $ vô lý

Vậy $f(2) =2 $

Nếu $f$ liên tục thì $f$ đơn điệu

Khi đó dễ suy ra $f(x)=x$

[Ego]

Tại sao $f$ liên tục, tại sao $f$ đơn diệu? Và cuối cùng tại sao từ $f$ đơn điệu lại suy ra $f(x) = x$. Những phần hay nhất thì bạn không chứng minh, là sao nhỉ?

[superpower]

Tại sao $f$ liên tục, tại sao $f$ đơn diệu? Và cuối cùng tại sao từ $f$ đơn điệu lại suy ra $f(x) = x$. Những phần hay nhất thì bạn không chứng minh, là sao nhỉ?

À. Nếu $f$ đơn ánh, $f$ liên tục thì ta suy ra $f$ đơn điệu

Mình thiếu tính liên tục

Nếu ta đã có $f$ đơn điệu thì đơn giản rồi

Giả sử $f(x_0) > x_0 => f(f(x_0)) > f(x_0) > x_0 $

Giả sử $f$ đồng biến

$f$ nghịch biến tương tự

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi superpower: 09-04-2016 - 20:35

[ThEdArKlOrD]

$x=1$ give $f(1)f(f(1))=1$, so $f(1)=1$

It is easy to see that $f$ is injective

$x=p$ where $p$ is prime number give us $f(p)f(f(p))=p^2$, since $f(1)=1$ so $f(p)\neq 1$

Then $f(p)=p^2$ or $f(p)=p$, if $f(p)=p^2$, we get $f(p^2)=1$, contradiction

So $f(p)=p$ for all prime number $p$

Then, we will induction that $f(n)=n$

Note that $f(1)=1,f(2)=2,f(3)=3$

Suppose it's true until $f(m)=m$ for some $m\in \mathbb{Z}^+$

Since $f$ is injective, $f(m+1)\geq m+1$

So $f(\text{ something greater than }m)\geq m+1$

So $f(m+1)f(f(m+1))\geq (m+1)^2$, equality must hold, so $f(m+1)=m+1$, complete induction step

 

$x=1$ cho ta $f(1)f(f(1))=1$ nên $f(1)=1$

Dễ thấy rằng $f$ là đơn ánh

$x=p$ với $p$ là số nguyên tố cho ta $f(p)f(f(p))=p^2$,do $f(1)=1$ nên $f(p)\neq 1$

Do đó $f(p)=p^2$ hoặc $f(p)-p$, Nếu $f(p)=p^2$ ta suy ra $f(p^2)=1$ , mâu thuẫn.

Vậy $f(p)=p$ với mọi $p$ nguyên tố

Ta dự đoán $f(n)=n$

Để ý rằng $f(1)=1,f(2)=2,f(3)=3$

Giả sử đúng đến $f(m)=m$ với $m\in \mathbb{Z}^+$

Do $f$ là đơn ánh nên $f(m+1)\geq m+1$

Vì vậy $f$ của một số lớn hơn $m\geq m+1$

Do đó $f(m+1)f(f(m+1))\geq (m+1)^2$, đẳng thức phải xảy ra nên $f(m+1)=m+1$.

Theo nguyên lí quy nạp toán học ta suy ra $f(n)=n$.

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baopbc: 18-04-2016 - 22:23