Chủ đề này có 3 trả lời

[ineX]

Với các số dương $a,b,c$ thỏa $a+b+c= 1$

Liệu ta có thể có được $ab+bc+ca \geq \frac{1}{4}$

[hieuhanghai]

Với các số dương $a,b,c$ thỏa $a+b+c= 1$

Liệu ta có thể có được $ab+bc+ca \geq \frac{1}{4}$

Thay a=5/6 ; b=1/12; c=1/12 vào là thấy không được liền 

[ineX]

bài gốc: cho a,b,c là ba cạnh tam giác.

Chứng minh rằng: $\sum \frac{(a-b)^{2}}{a^{2}+b^{2}+ab}\leq 2$

[Ankh]

bài gốc: cho a,b,c là ba cạnh tam giác.

Chứng minh rằng: $\sum \frac{(a-b)^{2}}{a^{2}+b^{2}+ab}\leq 2$

 Ta có bất đẳng thức tương đương $\sum \dfrac{ab}{a^2+ab+b^2}\geq \dfrac{1}{3}$

 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz $\sum \dfrac{ab}{a^2+ab+b^2}\geq \dfrac{(ab+bc+ca)^2}{\sum ab(a^2+b^2)+\sum a^2b^2}$

 Nên ta chỉ cần chứng minh $3(ab+bc+ca)^2\geq \sum ab(a^2+b^2)+\sum a^2b^2\Leftrightarrow 2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)+6abc(a+b+c)\geq \sum ab(a^2+b^2)$

 Do $a,b,c$ là ba cạnh tam giác nên $ab(a^2+b^2)\leq ab[a(b+c)+b(a+c)]=2a^2b^2+abc(a+b)$

 Từ đó $ab(a^2+b^2)\leq 2\sum a^2b^2+2abc(a+b+c)<2\sum a^2b^2+6abc(a+b+c)$

 Ta có điều cần chứng minh