Chủ đề này có 1 trả lời

[tritanngo99]

Tìm tất cả các hàm $f:R\rightarrow R$ thỏa mãn: 

$(x-y)f(x+y)-(x+y)f(x-y)=4xy(x^2-y^2)$

[baopbc]

Tìm tất cả các hàm $f:R\rightarrow R$ thỏa mãn: 

$(x-y)f(x+y)-(x+y)f(x-y)=4xy(x^2-y^2)$

Mình giải thế này!

Giả sử $f$ là hàm thỏa mãn yêu cầu bài toán. Thay $x=y=1$ vào $(1)$ ta được: $-2.f(0)=0\Longrightarrow f(0)=0$.

Sử dụng phép đặt $x+y=u,x-y=v$ thì $u.v=x^2-y^2$ ta được:

$v.f(u)+u.f(v)=u.v(u^2-v^2)$. Xét $2$ khả năng sau:

Khả năng $1:u.v\neq 0\Longrightarrow \frac {f(u)}{u}-\frac {f(v)}{v}=u^2-v^2\Longrightarrow \frac {f(u)}{u}-u^2=\frac {f(v)}{v}-v^2\forall u.v\neq 0;u,v\in \mathbb{R}$

Thay $v=1$ ta suy ra $\frac {f(u)}{u}-u^2=f(1)-1\Longrightarrow f(u)=(f(1)-1)u+u^3\forall u\neq 0$

Mặt khác kết hợp với $f(0)=0\Longrightarrow f(u)=(f(1)-1)u+u^3\forall u\in \mathbb{R}$ (thử lại thỏa mãn)

Khả năng $2:u.v=0\Longrightarrow f(u)=0\forall u\in \mathbb{R}$

Thử lại chỉ có hàm $f(x)=(f(1)-1)x+x^3$ thỏa mãn.

Kết luận: $\boxed{f(x)=(f(1)-1)x+x^3}$

P/s:

Đang cần off nhưng bài nào đúng dạng cần ôn thì vẫn làm

Mọi người xem lại hộ em với!