Cho $p$ là số nguyên tố. Tìm số nguyên n thỏa mản với mọi số nguyên x, Nếu $p\mid x^n-1$ thì $p^2\mid x^n-1$.
#2
Posted 03-06-2016 - 21:30
baopbc
-
- Thành viên nổi bật 2016
-
- 410 posts
Himura Kenshin
Bài này khá quen thuộc khi sử dụng bổ đề LTE.
Xét các trường hợp sau:
Trường hợp 1. $p=2$.
Do $p\mid x^n-1$ nên $x$ lẻ.
$n$ lẻ: $v_2(x^n-1)=v_2(x-1)$. Chọn $x$ sao cho $v_2(x-1)=1$ dẫn đến loại.
$n$ chẵn: $v_2(x^n-1)=v_2(x-1)+v_2(x+1)+v_2(n)-1>1$ nên $4\mid x^n-1$
Trường hợp 2. $p>2$
Chọn $x$ sao cho $p\mid x-1$.
$\Longrightarrow v_p(x^n-1)=v_p(x-1)+v_p(n)$ nên $v_p(n)>1\Longrightarrow p\mid n$
Kết luận: Với $p\mid n$ thì nếu $p\mid x^n-1$ ta suy ra $p^2\mid x^n-1$.
Edited by baopbc, 03-06-2016 - 23:43.
- Chris yang, I Love MC, Ego and 1 other like this
Also tagged with one or more of these keywords: 42
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Tổ hợp và rời rạc →
$\binom{2n-m-1}{2n-2m-1}-\binom{n-1}{m}=\sum_{k}\sum _{j}\binom{k+j}{k}\binom{2n-m-2k-j-3}{2(n-m-k-1)}$Started by HoaiBao, 27-08-2016  42
|
|
|
|
|
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Tổ hợp và rời rạc →
Tính tổng: $\sum_{k=0}^{2n}{(-2)^k\binom{2n+k}{2n-k}}$Started by HoaiBao, 06-08-2016 42
|
|
|
|
|
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
Bulgari_1995 Problem 6 Round 3Started by HoaiBao, 02-08-2016 42
|
|
|
|
|
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
Cho a,b là hai số thức phân biệt sao cho: $a-b$, $a^2-b^2$, $a^3-b^3$,... đều là số nguyên. Chứng minh rằng $a,b$ cũng là số nguyên dương.Started by HoaiBao, 10-06-2016 42
|
|
|
|
|
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
Cho $n$ là một số nguyên dương lẻ. Chứng minh rằng $((n-1)^n+1)^2\mid n(n-1)^{(n-1)^n+1}+n$.Started by HoaiBao, 09-06-2016 42
|
|
|
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users
