Chủ đề này có 1 trả lời

[HoaiBao]

$\fbox{Bulgari_1995 Problem 6 Round 3}$ Tìm các số nguyên dương $x,y$ thỏa $\frac{x^2+y^2}{x-y}$ là số nguyên dương và nó là ước của 1995. 

[redfox]

Ta có $1995=3.5.7.19$. Từ đề bài ta có $0<y<x$

Bổ đề: Cho hai số nguyên $x, y$ và số nguyên tố $p$ có dạng $4k+3$.Khi đó $p\mid x^2+y^2\Leftrightarrow p\mid x, p\mid y$

Giả sử $\frac{x^2+y^2}{x-y}=pk$ với $p$ là số nguyên tố có dạng $4k+3$. Khi đó theo bổ đề $p\mid x, p\mid y$. Đặt $x=pz, y=pt$ với $z, t$ nguyên dương. Khi đó $\frac{z^2+t^2}{z-t}=k$. Vậy ta chỉ xét $\frac{x^2+y^2}{x-y}$ không có ước nguyên tố dang $4k+3$

Vì $x^2+y^2>x^2>x>x-y$ nên $\frac{x^2+y^2}{x-y}=5\Rightarrow x^2=5x-y^2-5y\leq 5x-6\Rightarrow x=2;3$. Vậy $\left ( x;y \right )=\left ( 2;1 \right );\left ( 3;1 \right )$

Vậy $\left ( x;y \right )=\left ( 2q;q \right );\left ( 3q;q \right )$ với $q$ là ước của $399$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi redfox: 02-08-2016 - 15:57