$\fbox{Bulgari_1995 Problem 6 Round 3}$ Tìm các số nguyên dương $x,y$ thỏa $\frac{x^2+y^2}{x-y}$ là số nguyên dương và nó là ước của 1995.
#1
Đã gửi 02-08-2016 - 07:27
#2
Đã gửi 02-08-2016 - 15:41
Ta có $1995=3.5.7.19$. Từ đề bài ta có $0<y<x$
Bổ đề: Cho hai số nguyên $x, y$ và số nguyên tố $p$ có dạng $4k+3$.Khi đó $p\mid x^2+y^2\Leftrightarrow p\mid x, p\mid y$
Giả sử $\frac{x^2+y^2}{x-y}=pk$ với $p$ là số nguyên tố có dạng $4k+3$. Khi đó theo bổ đề $p\mid x, p\mid y$. Đặt $x=pz, y=pt$ với $z, t$ nguyên dương. Khi đó $\frac{z^2+t^2}{z-t}=k$. Vậy ta chỉ xét $\frac{x^2+y^2}{x-y}$ không có ước nguyên tố dang $4k+3$
Vì $x^2+y^2>x^2>x>x-y$ nên $\frac{x^2+y^2}{x-y}=5\Rightarrow x^2=5x-y^2-5y\leq 5x-6\Rightarrow x=2;3$. Vậy $\left ( x;y \right )=\left ( 2;1 \right );\left ( 3;1 \right )$
Vậy $\left ( x;y \right )=\left ( 2q;q \right );\left ( 3q;q \right )$ với $q$ là ước của $399$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi redfox: 02-08-2016 - 15:57
For the love of Canidae
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: 42
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Tổ hợp và rời rạc →
$\binom{2n-m-1}{2n-2m-1}-\binom{n-1}{m}=\sum_{k}\sum _{j}\binom{k+j}{k}\binom{2n-m-2k-j-3}{2(n-m-k-1)}$Bắt đầu bởi HoaiBao, 27-08-2016 42 |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Tổ hợp và rời rạc →
Tính tổng: $\sum_{k=0}^{2n}{(-2)^k\binom{2n+k}{2n-k}}$Bắt đầu bởi HoaiBao, 06-08-2016 42 |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
Cho a,b là hai số thức phân biệt sao cho: $a-b$, $a^2-b^2$, $a^3-b^3$,... đều là số nguyên. Chứng minh rằng $a,b$ cũng là số nguyên dương.Bắt đầu bởi HoaiBao, 10-06-2016 42 |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
Cho $n$ là một số nguyên dương lẻ. Chứng minh rằng $((n-1)^n+1)^2\mid n(n-1)^{(n-1)^n+1}+n$.Bắt đầu bởi HoaiBao, 09-06-2016 42 |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình: $(x-1)!+1=x^k$Bắt đầu bởi HoaiBao, 07-06-2016 42 |
|
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh