Tồn tại hay không sô nguyên $n$ thỏa mãn $n$ có đúng $2000$ ước nguyên tố và $2^n+1$ chia hết cho $n$.
#2
Đã gửi 05-06-2016 - 00:01
Hoang Nhat Tuan
-
- Thành viên
-
- 974 Bài viết
Hỏa Long
Tồn tại hay không sô nguyên $n$ thỏa mãn $n$ có đúng $2000$ ước nguyên tố và $2^n+1$ chia hết cho $n$. $(*)$
Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo $k$ $(k\in N^*)$ rằng luôn tồn tại số nguyên $n_k$ có $k$ ước nguyên tố (trong đó có $3$) thỏa mãn $2^{n_k}+1$ chia hết cho $n_k$.
Với $k=1$ cho $n_1=3$ hiển nhiên $(*)$ đúng. Giả sử $(*)$ đúng đến $k=i$ tức là $n_i|2^{n_i}+1$.
Khi đó: $3n_i|2^{3n_i}+1=(2^{n_i}+1)(2^{2n_i}-2^{n_i}+1)$ (vì $n_i$ phải là số lẻ dẫn đến $3|2^{2n_i}-2^{n_i}+1$)
Để ý rằng luôn tồn tại số nguyên tố $p$ là ước của $a^3+1=(a+1)(a^2-a+1)$ (với $a=2^{n_i}\geq 8$) mà không phải là ước của $(a+1)$. Thật vậy, thấy rằng $(a+1,a^2-a+1)=(a+1,3)$ mà $3|n_i|2^{n_i}+1$ nên $3|a+1$, tức $(a+1,a^2-a+1)=3$, đặt $a=3b-1$ thì $a^2-a+1=9b^2-9b+3$ không chia hết cho $9$, vì thế ta có thể lấy bất kì số nguyên tố $p$ nào là ước của $\frac{a^2-a+1}{3}>3$.
Đặt $n_{i+1}=3pn_i$ thì hiển nhiên $n_{i+1}=3pn_i|2^{3pn_i}+1=2^{n_{i+1}}+1$
Vậy theo nguyên lý quy nạp ta có điều phải chứng minh.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Nhat Tuan: 05-06-2016 - 00:01
Ngài có thể trói cơ thể tôi, buộc tay tôi, điều khiển hành động của tôi: ngài mạnh nhất, và xã hội cho ngài thêm quyền lực; nhưng với ý chí của tôi, thưa ngài, ngài không thể làm gì được.
#3
Đã gửi 05-06-2016 - 08:45
HoaiBao
-
- Thành viên
-
- 171 Bài viết
Trung sĩ
Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo $k$ $(k\in N^*)$ rằng luôn tồn tại số nguyên $n_k$ có $k$ ước nguyên tố (trong đó có $3$) thỏa mãn $2^{n_k}+1$ chia hết cho $n_k$.
Với $k=1$ cho $n_1=3$ hiển nhiên $(*)$ đúng. Giả sử $(*)$ đúng đến $k=i$ tức là $n_i|2^{n_i}+1$.
Khi đó: $3n_i|2^{3n_i}+1=(2^{n_i}+1)(2^{2n_i}-2^{n_i}+1)$ (vì $n_i$ phải là số lẻ dẫn đến $3|2^{2n_i}-2^{n_i}+1$)
Để ý rằng luôn tồn tại số nguyên tố $p$ là ước của $a^3+1=(a+1)(a^2-a+1)$ (với $a=2^{n_i}\geq 8$) mà không phải là ước của $(a+1)$. Thật vậy, thấy rằng $(a+1,a^2-a+1)=(a+1,3)$ mà $3|n_i|2^{n_i}+1$ nên $3|a+1$, tức $(a+1,a^2-a+1)=3$, đặt $a=3b-1$ thì $a^2-a+1=9b^2-9b+3$ không chia hết cho $9$, vì thế ta có thể lấy bất kì số nguyên tố $p$ nào là ước của $\frac{a^2-a+1}{3}>3$.
Đặt $n_{i+1}=3pn_i$ thì hiển nhiên $n_{i+1}=3pn_i|2^{3pn_i}+1=2^{n_{i+1}}+1$
Vậy theo nguyên lý quy nạp ta có điều phải chứng minh.
Sao mình thấy nó chỉ chia hết cho $n=3^k$ thôi.
...Xin lỗi mình bị nhầm...
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HoaiBao: 05-06-2016 - 08:48
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: 42
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Tổ hợp và rời rạc →
$\binom{2n-m-1}{2n-2m-1}-\binom{n-1}{m}=\sum_{k}\sum _{j}\binom{k+j}{k}\binom{2n-m-2k-j-3}{2(n-m-k-1)}$Bắt đầu bởi HoaiBao, 27-08-2016  42
|
|
|
|
|
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Tổ hợp và rời rạc →
Tính tổng: $\sum_{k=0}^{2n}{(-2)^k\binom{2n+k}{2n-k}}$Bắt đầu bởi HoaiBao, 06-08-2016 42
|
|
|
|
|
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
Bulgari_1995 Problem 6 Round 3Bắt đầu bởi HoaiBao, 02-08-2016 42
|
|
|
|
|
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
Cho a,b là hai số thức phân biệt sao cho: $a-b$, $a^2-b^2$, $a^3-b^3$,... đều là số nguyên. Chứng minh rằng $a,b$ cũng là số nguyên dương.Bắt đầu bởi HoaiBao, 10-06-2016 42
|
|
|
|
|
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
Cho $n$ là một số nguyên dương lẻ. Chứng minh rằng $((n-1)^n+1)^2\mid n(n-1)^{(n-1)^n+1}+n$.Bắt đầu bởi HoaiBao, 09-06-2016 42
|
|
|
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
