Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Cmr:
$\sum \frac{(a+b)^2}{c^2+ab}\ge 6$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TanSan26: 07-06-2016 - 08:29
Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Cmr:
$\sum \frac{(a+b)^2}{c^2+ab}\ge 6$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TanSan26: 07-06-2016 - 08:29
A vẩu
Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Cmr:
$\sum \frac{(a+b)^2}{c^2+ab}\ge 6$
Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz, ta được:
$\sum \frac{(a+b)^2}{c^2+ab}=\sum \frac{(a+b)^4}{(a+b)^2(c^2+ab)}\geq \frac{((a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2)^2}{(a+b)^2(c^2+ab)+(b+c)^2(a^2+bc)+(c+a)^2(b^2+ca)}\geq 6$
$\Leftrightarrow 4(\sum a^2+\sum ab)^2\geq 6(4\sum a^2b^2+(\sum ab)(\sum a^2)+abc(\sum a))$
Rút gọn, ta được:
$2\sum a^4+2abc\sum a+\sum ab(a^2+b^2)\geq 6\sum a^2b^2$
Theo bđt Schur bậc 4, ta có:
$2\sum a^4+2abc\sum a\geq \sum ab(a^2+b^2)$
Theo bđt AM-GM, ta có:
$3\sum ab(a^2+b^2)\geq 6\sum a^2b^2$
Đẳng thức xảy ra khi a=b=c.
Lời giải hay thì like nhé
FB: https://www.facebook...oylanh.lung.564
Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Cmr:
$\sum \frac{(a+b)^2}{c^2+ab}\ge 6$
chuẩn hóa $\sum a^2=3$
bđt $\leftrightarrow \sum \frac{1-c^2}{c^2+3} \ge 0$
vì bđt đối xứng nên giả sử $a \ge b \ge c$
$\rightarrow 1-c^2 \ge 1-b^2 \ge 1-a^2$ và $\frac{1}{3+c^2} \ge \frac{1}{3+b^2} \ge \frac{1}{3+a^2}$
áp dụng $Chebyshev$ cho $2$ bộ đơn điệu cùng chiều trên ta có đpcm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nam Duong: 07-06-2016 - 19:38
chuẩn hóa $\sum a=3$
bđt $\leftrightarrow \sum \frac{(3-c)^2}{c^2+ab} \ge \sum (4-\frac{16c^2}{5c^2-6c+9}) \ge 6$
do đó cần cm $4-\frac{16c^2}{5c^2-6c+9} \ge 5-3c \leftrightarrow (c-1)^2(5c-3) \ge 0$ luôn đúng với mọi $c \in [0;1]$
thiết lập các bđt tương tự rồi cộng lại ta được đpcm
5c-3 luôn >=0 đâu
Lời giải hay thì like nhé
FB: https://www.facebook...oylanh.lung.564
5c-3 luôn >=0 đâu
mình sửa lại rồi
chuẩn hóa $\sum a^2=3$
bđt $\leftrightarrow \sum \frac{1-c^2}{c^2+3} \ge 0$
vì bđt đối xứng nên giả sử $a \ge b \ge c$
$\rightarrow 1-c^2 \ge 1-b^2 \ge 1-a^2$ và $\frac{1}{3+c^2} \ge \frac{1}{3+b^2} \ge \frac{1}{3+a^2}$
áp dụng $Chebyshev$ cho $2$ bộ đơn điệu cùng chiều trên ta có đpcm
Bạn biến đổi cái dòng đầu tiên kiểu gì thế ?
Lời giải hay thì like nhé
FB: https://www.facebook...oylanh.lung.564
Bạn biến đổi cái dòng đầu tiên kiểu gì thế ?
$\frac{(a+b)^2}{c^2+ab}-2=\frac{3-c^2+2ab-2c^2-2ab}{c^2+ab} \ge \frac{6(1-c^2)}{c^2+3}$
$\frac{(a+b)^2}{c^2+ab}-2=\frac{3-c^2+2ab-2c^2-2ab}{c^2+ab} \ge \frac{6(1-c^2)}{c^2+3}$
Cho $c=\sqrt{2},b=a=\frac{1}{\sqrt{2}}$ thì $\frac{3(1-c^2)}{c^2+ab}-\frac{3(1-c^2)}{c^2+3}=\frac{-3}{5}<0$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tungteng532000: 08-06-2016 - 10:25
Lời giải hay thì like nhé
FB: https://www.facebook...oylanh.lung.564
Cho $c=\sqrt{2},b=a=\frac{1}{\sqrt{2}}$ thì $\frac{3(1-c^2)}{c^2+ab}-\frac{3(1-c^2)}{c^2+3}=\frac{-3}{5}<0$
bạn coi lại cái bôi đỏ đi
nếu cho $c^2=2,6$ thì sai thật
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nam Duong: 08-06-2016 - 10:45
bạn coi lại cái bôi đỏ đi
nếu cho $c^2=2,6$ thì sai thật
Thế là bạn làm sai à ?
Lời giải hay thì like nhé
FB: https://www.facebook...oylanh.lung.564
Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Cmr:
$\sum \frac{(a+b)^2}{c^2+ab}\ge 6$
Ta có đẳng thức
\[\sum {\frac{{{{\left( {b + c} \right)}^2}}}{{{a^2} + bc}}} - 6 = \frac{\displaystyle {{{\left( {a - b} \right)}^2}{{\left( {b - c} \right)}^2}{{\left( {c - a} \right)}^2} + \sum {ab{{\left( {{a^2} - {b^2}} \right)}^2}} }}{{\left( {{a^2} + bc} \right)\left( {{b^2} + ca} \right)\left( {{c^2} + ab} \right)}}.\] Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$Cho a,b,c\geq 0 \sum a\doteq 1 \sum \sqrt{\frac{a}{2a^{2}+bc}}\geq 2$Bắt đầu bởi TARGET, 07-03-2022 bdt |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sqrt{\frac{4x^2+y^2}{2}}+\sqrt{\frac{4x^2+2xy+y^2}{3}}\geq 2x+y$Bắt đầu bởi lmtrtan123334, 18-10-2021 bdt |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Bất đẳng thức và cực trị →
Tìm GTNN của $P=8(a^2+b^2)-2a-2b$ biết $2a\sin^2 x+b(\sin x-\cos x)^2=0$ luôn có nghiệmBắt đầu bởi hieulu, 02-09-2021 toán 12, bdt, khó |
|
|||
|
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Bất đẳng thức và cực trị →
Bất đẳng thứcBắt đầu bởi yungazier, 12-08-2021 batdangthuc, bdt |
|
||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Bất đẳng thức và cực trị →
CMR $ 3\sum \frac{b}{a+b+1} \geq \sum \frac{4-a}{a+2} $Bắt đầu bởi Sin99, 24-07-2019 bdt |
|
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh