Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình: $(x-1)!+1=x^k$
#2
Đã gửi 07-06-2016 - 22:53
Chris yang
-
- Thành viên
-
- 223 Bài viết
Thượng sĩ
Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình: $(x-1)!+1=x^k$
Giải như sau:
Thử ta được $(x,k)=(2,1),(3,1),(5,2)$ thỏa mãn. Với $x>2$ dễ thấy $x$ lẻ
Xét $x>5$. Giả sử $x$ là hợp số thì bằng cách đặt $x=mn$ với $m,n\geq 2$ ta luôn chỉ ra được $x|(x-1)!$, kéo theo $x|1$ ( vô lý)
Vậy $x$ là số nguyên tố
Theo khai triển nhị thức Newton thì $(x-1)!=[(x-1)+1]^k-1=\sum ^{k}_{i=1}\binom{k}{i}(x-1)^i \Rightarrow (x-2)!=k+\sum ^{k}_{i=2}\binom{k}{i}(x-1)^{i-1}\equiv k\pmod {x-1}$
Mặt khác, vì $x$ nguyên tố nên $x-1$ là hợp số. Tương tự cách trên ta chứng minh được $x-1|(x-2)!$, kéo theo $x-1|k\rightarrow x-1\leq k$
Mà hiển nhiên $k<x$ nên $k\leq x-1$, nếu không vế phải phương trình đã cho luôn lớn hơn vế trái phương trình đã cho. Do đó loại
Vậy $(x,k)=(2,1),(3,1), (5,2)$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ngocanh99: 11-06-2016 - 13:50
- I Love MC, Element hero Neos, the unknown và 1 người khác yêu thích
#3
Đã gửi 11-06-2016 - 13:16
bangbang1412
-
- Phó Quản lý Toán Cao cấp
-
- 1670 Bài viết
Độc cô cầu bại
Giải như sau:
Thử ta được $(x,k)=(2,1),(3,1),(5,2)$ thỏa mãn. Với $x>2$ dễ thấy $x$ lẻ
Xét $x>5$. Giả sử $x$ là hợp số thì bằng cách đặt $x=mn$ với $m,n\geq 2$ ta luôn chỉ ra được $x|(x-1)!$, kéo theo $x|1$ ( vô lý)
Vậy $x$ là số nguyên tố
Theo khai triển nhị thức Newton thì $(x-1)!=[(x-1)+1]^k-1=\sum ^{k}_{i=1}\binom{k}{i}(x-1)^i \Rightarrow (x-2)!=k+\sum ^{k}_{i=2}\binom{k}{i}(x-1)^{i-1}\equiv k\pmod {x-1}$
Mặt khác, vì $x$ nguyên tố nên $x-1$ là hợp số. Tương tự cách trên ta chứng minh được $x-1|(x-2)!$, kéo theo $x-1|k\rightarrow x-1\leq k$
Mà hiển nhiên $k<x\leq x-1$ (****) nếu không vế phải phương trình đã cho luôn lớn hơn vế trái phương trình đã cho. Do đó loại
Vậy $(x,k)=(2,1),(3,1), (5,2)$
Chỗ $(****)$ mình không hiểu ? sao lại $x \leq x-1$
$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$
#4
Đã gửi 11-06-2016 - 13:49
Chris yang
-
- Thành viên
-
- 223 Bài viết
Thượng sĩ
Chỗ $(****)$ mình không hiểu ? sao lại $x \leq x-1$
Mình viết nhầm, $k<x$ nên $k\leq x-1$
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: 42
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Tổ hợp và rời rạc →
$\binom{2n-m-1}{2n-2m-1}-\binom{n-1}{m}=\sum_{k}\sum _{j}\binom{k+j}{k}\binom{2n-m-2k-j-3}{2(n-m-k-1)}$Bắt đầu bởi HoaiBao, 27-08-2016  42
|
|
|
|
|
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Tổ hợp và rời rạc →
Tính tổng: $\sum_{k=0}^{2n}{(-2)^k\binom{2n+k}{2n-k}}$Bắt đầu bởi HoaiBao, 06-08-2016 42
|
|
|
|
|
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
Bulgari_1995 Problem 6 Round 3Bắt đầu bởi HoaiBao, 02-08-2016 42
|
|
|
|
|
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
Cho a,b là hai số thức phân biệt sao cho: $a-b$, $a^2-b^2$, $a^3-b^3$,... đều là số nguyên. Chứng minh rằng $a,b$ cũng là số nguyên dương.Bắt đầu bởi HoaiBao, 10-06-2016 42
|
|
|
|
|
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
Cho $n$ là một số nguyên dương lẻ. Chứng minh rằng $((n-1)^n+1)^2\mid n(n-1)^{(n-1)^n+1}+n$.Bắt đầu bởi HoaiBao, 09-06-2016 42
|
|
|
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
