Chủ đề này có 4 trả lời

[lehakhiem212]

x,y,z>0,(x+y)(y+z)(x+z)=1.Cmr:

$\frac{\sqrt{x^{2}+xy+y^{2}}}{\sqrt{xy}+1}+\frac{\sqrt{y^{2}+yz+z^{2}}}{\sqrt{yz}+1}+\frac{\sqrt{z^{2}+zx+x^{2}}}{\sqrt{zx}+1}$$\geq \sqrt{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Gachdptrai12: 07-07-2016 - 23:12

[anhquannbk]

x,y,z>0,(x+y)(y+z)(x+z)=1.Cmr:

$\frac{\sqrt{x^{2}+xy+y^{2}}}{\sqrt{xy}+1}+\frac{\sqrt{y^{2}+yz+z^{2}}}{\sqrt{yz}+1}+\frac{\sqrt{z^{2}+zx+x^{2}}}{\sqrt{zx}+1}$ lớn hơn hay bằng căn 3

Bài này hình như đề ra kỳ này báo THTT tháng 1.

[lehakhiem212]

Bài này hình như đề ra kỳ này báo THTT tháng 1.

em không biết .bài này thằng bạn đưa em làm, làm không ra nên post lên đây nhờ giải hộ.

[anhquannbk]

em không biết .bài này thằng bạn đưa em làm, làm không ra nên post lên đây nhờ giải hộ.

em xem phần giải bài kỳ trước của báo tháng 5 sẽ có lời giải bài này.

[Math Master]

x,y,z>0,(x+y)(y+z)(x+z)=1.Cmr:

$\frac{\sqrt{x^{2}+xy+y^{2}}}{\sqrt{xy}+1}+\frac{\sqrt{y^{2}+yz+z^{2}}}{\sqrt{yz}+1}+\frac{\sqrt{z^{2}+zx+x^{2}}}{\sqrt{zx}+1}$$\geq \sqrt{3}$

Ta luôn có : $\sqrt{x^2+xy+y^2} \geq \frac{\sqrt{3}(x+y)}{2}$

Lại có $\sqrt{xy} + 1 \leq \frac{x+y}{2} + 1$

$=> \frac{\sqrt{x^2+xy+y^2}}{\sqrt{xy}+1} \geq \frac{\sqrt{3}(x+y)}{x+y+2}$

Xét biểu thức $A = \frac{x+y}{x+y+2} + \frac{y+z}{y+z+2} + \frac{z+x}{z+x+2}$

Vì $(x+y)(y+z)(z+x) = 1$

Khi đó đặt $x+y = \frac{a}{b} , y+z = \frac{b}{c} , z+x = \frac{c}{a}$

$A = \frac{a}{a+2b} + \frac{b}{b+2c} + \frac{c}{c+2a}$

$= \frac{a^2}{a^2+2ab} + \frac{b^2}{b^2+2bc} + \frac{c^2}{c^2+2ac} \geq 1$ (Theo Cauchy - Schwartz}

$=> VT \geq \sqrt{3} => (Q.E.D)$

Dấu"=" xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Math Master: 08-07-2016 - 08:32