Cho dãy số nguyên (an)(an) được xác định bởi:
a0=1a0=1, a1=−1a1=−1, anan=6a(n−1)6a(n−1)+ 5a(n−2)5a(n−2) với mọi n≥2n≥2
Chứng minh rằng: a2012a2012 - 2010 chia hết cho 2011
Xét dãy $ b_0 = 1, b_1 = -1, b_n = 6b_{n-1} + 2016b_{n-2}$
Khi đó $ b_n \equiv a_n (mod 2011)$
Số hạng tổng quát $ b_n = \frac{41.(48)^{n}+49.(-42)^{n}}{90}$
Suy ra $ b_{2012} = \frac{41.(48)^{2012}+49.(-42)^{2012}}{90}$
$ 41.(48)^{2012}+49.(-42)^{2012} \equiv 41.(48)^{2}+49.(-42)^{2} \equiv 2010.90 (mod 2011)$
Do đó $ b_2012 = \frac{41.(48)^{2012}+49.(-42)^{2012}}{90} \equiv 2010 (mod 2011)$
Vậy $ a_{2012} - 2010$ chia hết cho 2011
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Superaceace: 24-08-2016 - 23:00