Chủ đề này có 1 trả lời

[ILoveMath4864]

Tìm min của biểu thức sau: $T=x^{4}-8xy-x^{3}y+x^{2}y^{2}-xy^{3}+y^{4}+2001$

[Hai2003]

Ta có

$T=x^4-x^3y-xy^3+y^4+x^2y^2-8xy+16+1985\\ =x^3(x-y)-y^3(x-y)+(xy-4)^2+1985\\ =(x-y)(x^3-y^3)+(xy-4)^4+1985\\ =(x-y)^2(x^2+xy+y^2)+(xy-4)^2+1985$

 

Do $(x-y)^2(x^2+xy+y^2)+(xy-4)^2\geq 0$ nên $T\geq 1985$

Dấu bằng xảy ra khi $\left\{\begin{array}{ll}\left[\begin{array}{ll}x=y\\ x=y=0\end{array}\right.\\ (xy-4)^2=0\end{array}\right.\implies \left\{\begin{array}{ll}x=y\\xy=4\end{array}\right.\implies \left[\begin{array}{ll}x=y=2\\ x=y=-2\end{array}\right.$

 

Vậy $T_{min}=1985$ khi $x=y=2$ hay $x=y=-2$