Chủ đề này có 2 trả lời

[ILoveMath4864]

Tìm min của biểu thức sau: $(x-2y+1)^{2}+(2x+ay+5)^{2}$ với a là hằng số

[L Lawliet]

Tìm min của biểu thức sau: $(x-2y+1)^2+(2x+ay+5)^2$ với a là hằng số

Lời giải.

Đặt $A=\left ( x-2y+1 \right )^{2}+\left ( 2x+ay+5 \right )^{2}$.

Xét hệ: $$\left\{\begin{matrix} x-2y=-1 \\ 2x+ay=-5 \end{matrix}\right.$$

Nếu $a\neq -4$ thì hệ luôn có nghiệm $\left ( x;y \right )$ và $\min A=0$.

Nếu $a=-4$ thì $A=\left ( x-2y+1 \right )^{2}+\left ( 2x-4y+5 \right )^{2}$.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:

$$\left [ \left ( x-2y+1 \right )^{2}+\left ( 2x-4y+5 \right )^{2} \right ]\left [ 2^{2}+\left ( -1 \right )^{2} \right ]\geq \left ( 2x-4y+2-2x-4y-5 \right )^{2}=9$$

$$\Rightarrow A\geq \dfrac{9}{5}$$

Vậy $\min A=\dfrac{9}{5}$. Dấu bằng xảy ra khi $x-2y+1=-4x+8y-10\Leftrightarrow 5x-10y+11=0$.

Ở đây dấu bằng xảy ra tại vô số cặp $\left ( x;y \right )$ thỏa mãn $5x-10y+11=0$ ví dụ $\left ( x;y \right )=\left ( -\dfrac{1}{5};1 \right )$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 04-09-2016 - 20:32

[ILoveMath4864]

 

Lời giải.

Đặt $A=\left ( x-2y+1 \right )^{2}+\left ( 2x+ay+5 \right )^{2}$.

Xét hệ: $$\left\{\begin{matrix} x-2y=-1 \\ 2x+ay=-5 \end{matrix}\right.$$

Nếu $a\neq -4$ thì hệ luôn có nghiệm $\left ( x;y \right )$ và $\min A=0$.

Nếu $a=-4$ thì $A=\left ( x-2y+1 \right )^{2}+\left ( 2x-4y+5 \right )^{2}$.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:

$$\left [ \left ( x-2y+1 \right )^{2}+\left ( 2x-4y+5 \right )^{2} \right ]\left [ 2^{2}+\left ( -1 \right )^{2} \right ]\geq \left ( 2x-4y+2-2x-4y-5 \right )^{2}=9$$

$$\Rightarrow A\geq \dfrac{9}{5}$$

Vậy $\min A=\dfrac{9}{5}$. Dấu bằng xảy ra khi $x-2y+1=-4x+8y-10\Leftrightarrow 5x-10y+11=0$.

Ở đây dấu bằng xảy ra tại vô số cặp $\left ( x;y \right )$ thỏa mãn $5x-10y+11=0$ ví dụ $\left ( x;y \right )=\left ( -\dfrac{1}{5};1 \right )$.

 

CẢM ƠN RẤT NHIỀU!