Nhờ các bạn giải giúp :
Cho a,b,c>0 . CMR: $\frac{{{a}^{8}}}{{{b}^{7}}+7{{c}^{7}}}+\frac{{{b}^{8}}}{{{c}^{7}}+7{{a}^{7}}}+\frac{{{c}^{8}}}{{{a}^{7}}+7{{b}^{7}}}\ge \frac{a+b+c}{8}$
Nhờ các bạn giải giúp :
Cho a,b,c>0 . CMR: $\frac{{{a}^{8}}}{{{b}^{7}}+7{{c}^{7}}}+\frac{{{b}^{8}}}{{{c}^{7}}+7{{a}^{7}}}+\frac{{{c}^{8}}}{{{a}^{7}}+7{{b}^{7}}}\ge \frac{a+b+c}{8}$
Nhờ các bạn giải giúp :
Cho a,b,c>0 . CMR: $\frac{{{a}^{8}}}{{{b}^{7}}+7{{c}^{7}}}+\frac{{{b}^{8}}}{{{c}^{7}}+7{{a}^{7}}}\frac{{{c}^{8}}}{{{a}^{7}}+7{{b}^{7}}}\ge \frac{a+b+c}{8}$
Áp dụng BĐT B-C-S
Ta có
$\sum \frac{a^8}{b^7+7c^7} \geq \frac{(a^4+b^4+c^4)^2}{8(a^7+b^7+c^7)}$
Do đó chỉ cần CM
$\frac{(a^4+b^4+c^4)^2}{8(a^7+b^7+c^7)} \geq \frac{a+b+c}{8}$
$<=> (a+b+c)(a^7+b^7+c^7) \geq (a^4+b^4+c^4)^2 $
$<=> (a+b+c)(a^7+b^7+c^7) - (a^4+b^4+c^4)^2 \geq 0$
$<=> \sum ab(a^3-b^3)^2 \geq 0$ (luôn đúng vì a,b,c dương)
Vậy BĐT đc CM
Áp dụng BĐT B-C-S
Ta có
$\sum \frac{a^8}{b^7+7c^7} \geq \frac{(a^4+b^4+c^4)^2}{8(a^7+b^7+c^7)}$
Do đó chỉ cần CM
$\frac{(a^4+b^4+c^4)^2}{8(a^7+b^7+c^7)} \geq \frac{a+b+c}{8}$
$<=> (a+b+c)(a^7+b^7+c^7) \geq (a^4+b^4+c^4)^2 $
$<=> (a+b+c)(a^7+b^7+c^7) - (a^4+b^4+c^4)^2 \geq 0$
$<=> \sum ab(a^3-b^3)^2 \geq 0$ (luôn đúng vì a,b,c dương)
Vậy BĐT đc CM
có vấn đề rồi bạn ơi
có vấn đề rồi bạn ơi
Ưhm, bạn nói rõ đi
cần cm (a^4+b^4+c^4)^2/8(a^7+b^7+c^7)>=a+b+c/8 mà (a^4+b^4+c^4)^2=<(a^7+b^7+c^7)(a+b+c) thì bdt can cm nguoc dau roi
Áp dụng BĐT B-C-S
Ta có
$\sum \frac{a^8}{b^7+7c^7} \geq \frac{(a^4+b^4+c^4)^2}{8(a^7+b^7+c^7)}$
Do đó chỉ cần CM
$\frac{(a^4+b^4+c^4)^2}{8(a^7+b^7+c^7)} \geq \frac{a+b+c}{8}$
$<=> (a+b+c)(a^7+b^7+c^7) \geq (a^4+b^4+c^4)^2 $
$<=> (a+b+c)(a^7+b^7+c^7) - (a^4+b^4+c^4)^2 \geq 0$
$<=> \sum ab(a^3-b^3)^2 \geq 0$ (luôn đúng vì a,b,c dương)
Vậy BĐT đc CM
Bạn dùng Cauchy-schwarz đánh giá quá đà rồi cái này $\frac{(a^4+b^4+c^4)^2}{8(a^7+b^7+c^7)} \geq \frac{a+b+c}{8}$
Bạn dùng cauchy-schwarz nhưng $\frac{(a^4+b^4+c^4)^2}{8(a^7+b^7+c^7)} \geq \frac{a+b+c}{8}$
Bạn dùng cauchy-schwarz nhưng $\frac{(a^4+b^4+c^4)^2}{8(a^7+b^7+c^7)} \geq \frac{a+b+c}{8}$
sai bạn ạ.
Ah chết, mình xin lỗi, có vẻ như Cauchy-Schwarz không được rồi
mình đã tìm được lời giải sau các bạn xem thử:
Không mất tính tổng quát ta giả sử $$a\ge b\ge c>0$$ ta chứng được
$*\,\,\,\sum{{{a}^{15}}}\ge \sum{{{a}^{8}}{{b}^{7}}^{{}}}\ge \sum{{{a}^{7}}{{b}^{8}}^{{}}}$ cái này là BDT hoán vị
và
$*\,\,\,\sum{{{a}^{8}}}\ge \frac{1}{3}\sum{{{a}^{7}}^{{}}}.\sum{{{a}^{{}}}}$ cái này là Chebychev
Khi đó áp dụng Cauchy-schwarz ta có :
$\sum{\frac{{{a}^{8}}}{{{b}^{7}}+7{{c}^{7}}}\ge \frac{{{\left( \sum{{{a}^{8}}} \right)}^{2}}}{\sum{{{a}^{8}}{{b}^{7}}+7\sum{{{a}^{7}}{{b}^{8}}}}}}\ge \frac{8\left( \sum{{{a}^{8}}} \right)\left( \sum{{{a}^{7}}} \right)}{3\left( \sum{{{a}^{8}}{{b}^{7}}+7\sum{{{a}^{7}}{{b}^{8}}}} \right)}.\frac{\sum{{{a}^{{}}}}}{8}$
$=\frac{8\left( \sum{{{a}^{15}}}+\sum{{{a}^{8}}}{{b}^{7}}+\sum{{{a}^{7}}{{b}^{8}}} \right)}{3\sum{{{a}^{8}}{{b}^{7}}+21\sum{{{a}^{7}}{{b}^{8}}}}}.\frac{\sum{{{a}^{{}}}}}{8}\ge \frac{\sum{{{a}^{{}}}}}{8}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguen123: 13-09-2016 - 21:14
mình sử dụng bất đẳng thức tổng quát sau :
với $a\ge b\ge c>0$
\[\sum{{{a}^{n}}}\ge \sum{{{a}^{n-i}}{{b}^{i}}^{{}}}\ge \sum{{{a}^{n-j}}{{b}^{j}}^{{}}}\] với $0\le i\le j$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguen123: 13-09-2016 - 21:31
Toán Trung học Cơ sở →
Đại số →
chứng minh rằng x=y=zBắt đầu bởi nguyentrongvanviet, 06-04-2021 chứng minh, hệ phương trình |
|
|||
|
Toán Trung học Cơ sở →
Hình học →
chứng minh các tính chất sauBắt đầu bởi nguyentrongvanviet, 05-04-2021 hình học, chứng minh và . |
|
||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Hình học →
Hình học phẳng →
Chứng minh AM,EF,ID đồng quyBắt đầu bởi nguyendinhnguyentoan9, 25-07-2019 chứng minh |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Đại số →
Chứng minh chia hếtBắt đầu bởi nguyendinhnguyentoan9, 22-07-2019 chứng minh |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Tổng hợp các bất đẳng thức cần câu trả lờiBắt đầu bởi hanguyen225, 08-06-2019 bất đẳng thức, chứng minh |
|
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh