Cho dãy xn : x1 = $\sqrt{2}$ , xn+1 = $\sqrt{2 + x_{n}}$ . Chứng minh rằng {xn} là dãy hội tụ và tìm giới hạn.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ngocjr7: 24-09-2016 - 09:46
Cho dãy xn : x1 = $\sqrt{2}$ , xn+1 = $\sqrt{2 + x_{n}}$ . Chứng minh rằng {xn} là dãy hội tụ và tìm giới hạn.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ngocjr7: 24-09-2016 - 09:46
Cho dãy xn : x1 = $\sqrt{2}$ , xn+1 = $\sqrt{2 + x_{n}}$ . Chứng minh rằng {xn} là dãy hội tụ và tìm giới hạn.
Bài này có nhiều cách làm! Mình xin trình bày một trong số cách làm đó!
Xét hàm $f(x)=\sqrt{2+x}\Rightarrow f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{2+x}}>0$. Do đó, $f$ đồng biến. Mặt khác, $u_1<u_2$ nên $f(u_1)<f(u_2)\Rightarrow u_2<u_3$. Tương tự như thế ta có $(u_n)$ tăng. Bằng quy nạp, ta có $u_{n}<2\forall n$. Theo định lí $Bolzano-Weistrass$, dãy $(u_n)$ hội tụ. Giả sử $(u_n)\rightarrow a$. Khi đó, ta có phương trình $a=\sqrt{2+a}\Leftrightarrow a=2$. Do đó, $\lim u_n=2$
$\lim_{x \to \infty } Love =+\infty$
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Dãy số - Giới hạn →
Chứng minh dãy hội tụ và tìm giới hạnBắt đầu bởi Saturina, 16-02-2024 dãy sô, giới hạn |
|
||
Toán Đại cương →
Giải tích →
$\int_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt[3]{x.(e^{x^3}-e^{-x^3})}}$Bắt đầu bởi Lyua My, 27-01-2024 giải tích, tích phân |
|
|||
Toán Đại cương →
Giải tích →
Cho $x = r\cos(a)$ và $y = r\sin(a)$. Chứng minh $dx.dy = rdr.da$Bắt đầu bởi Explorer, 11-01-2024 giải tích, hệ tọa độ cực, hàm số và . |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Giải tích →
Tích phân - Nguyên hàm →
$\int \sqrt[3]{\frac{x+1}{x-1}}\frac{{\mathrm{d} x}}{x+1}$Bắt đầu bởi Thanh Lam 1514, 25-12-2023 giải tích, nguyên hàm |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Giải tích →
Dãy số - Giới hạn →
$\forall \varepsilon ,\exists N= N\left ( \varepsilon \right )\epsilon \mathbb{N}$Bắt đầu bởi Niko27, 06-12-2023 giới hạn |
|
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh