Cho các số ko âm a,b,c TM a + b + c = 3. Chứng minh
$2(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)+3(a^{2}+b^{2}+c^{2})+4abc\geq 19$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phan Tien Ngoc: 12-10-2016 - 22:00
Cho các số ko âm a,b,c TM a + b + c = 3. Chứng minh
$2(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)+3(a^{2}+b^{2}+c^{2})+4abc\geq 19$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phan Tien Ngoc: 12-10-2016 - 22:00
$2(a^2b+b^2c+c^2a)+3(a^2+b^2+c^2)+4abc=2(a^2b+b^2c+c^2a)+(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)+4abc=(a+b+c)^3-2(b^2a+c^2b+a^2c+abc)=27-2(a^2b+b^2c+c^2a+abc)$
Quy về chứng minh bất đẳng thức quen thuộc $a^2b+b^2a+c^2a+abc \le 4$ với $a+b+c=3$:
$2(a^2b+b^2c+c^2a)+3(a^2+b^2+c^2)+4abc=2(a^2b+b^2c+c^2a)+(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)+4abc=(a+b+c)^3-2(b^2a+c^2b+a^2c+abc)=27-2(a^2b+b^2c+c^2a+abc)$
Quy về chứng minh bất đẳng thức quen thuộc $a^2b+b^2a+c^2a+abc \le 4$ với $a+b+c=3$:
Bác làm như ai cũng quen
Chứng minh bất đẳng thức quen thuộc...
Giả sử $a\geq b\geq c$
Suy ra $VT=a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a+abc\leq a^{2}b+2abc+c^{2}b$, sở dĩ có điều này bởi vì $c(a-b)(b-c)\geq 0$
Tiếp tục sử dụng AM-GM, ta có:
$VT\leq \frac{1}{2}(2b)(a+c)^{2}\leq 4$ (AM-GM 3 số)
Hoàn tất chứng minh.
"Đừng khóc, Alfred! Anh cần có đủ nghị lực để chết ở tuổi hai mươi"
Toán Trung học Cơ sở →
Đại số →
Chứng mình rằng với mọi số tự nhiên lử $n\geq 9$, ta luồn có bất đẳng thứcBắt đầu bởi nguyenthaison, 17-07-2017 bất dẳng thức, ôn thi lớp 10 và . |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
cm $\frac{x}{y-z}$+$\frac{y}{z-x}$+$\frac{z}{x-y}$<0Bắt đầu bởi davatharvungu, 28-04-2015 bất dẳng thức |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)\geq (\frac{10}{9})^3$Bắt đầu bởi Arsene lupin, 21-11-2013 bất dẳng thức |
|
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh