Chủ đề này có 2 trả lời

[Phan Tien Ngoc]

Cho các số ko âm a,b,c TM a + b + c = 3. Chứng minh 

$2(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)+3(a^{2}+b^{2}+c^{2})+4abc\geq 19$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phan Tien Ngoc: 12-10-2016 - 22:00

[phamhuy1801]

$2(a^2b+b^2c+c^2a)+3(a^2+b^2+c^2)+4abc=2(a^2b+b^2c+c^2a)+(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)+4abc=(a+b+c)^3-2(b^2a+c^2b+a^2c+abc)=27-2(a^2b+b^2c+c^2a+abc)$

Quy về chứng minh bất đẳng thức quen thuộc $a^2b+b^2a+c^2a+abc \le 4$ với $a+b+c=3$:

[toannguyenebolala]

$2(a^2b+b^2c+c^2a)+3(a^2+b^2+c^2)+4abc=2(a^2b+b^2c+c^2a)+(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)+4abc=(a+b+c)^3-2(b^2a+c^2b+a^2c+abc)=27-2(a^2b+b^2c+c^2a+abc)$

Quy về chứng minh bất đẳng thức quen thuộc $a^2b+b^2a+c^2a+abc \le 4$ với $a+b+c=3$:

Bác làm như ai cũng quen

Chứng minh bất đẳng thức quen thuộc...

Giả sử $a\geq b\geq c$

Suy ra $VT=a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a+abc\leq a^{2}b+2abc+c^{2}b$, sở dĩ có điều này bởi vì $c(a-b)(b-c)\geq 0$

Tiếp tục sử dụng AM-GM, ta có: 

$VT\leq \frac{1}{2}(2b)(a+c)^{2}\leq 4$ (AM-GM 3 số)

Hoàn tất chứng minh.