Cho: $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ thỏa mãn:
$$f((x+1)f(y))=y.f(1+f(x))$$
a, Chứng minh rằng nếu tồn tại $a$ khác $0$ để $f(a)\neq 0$ thì $f$ là song ánh
b, Tìm tất cả các hàm f
Cho: $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ thỏa mãn:
$$f((x+1)f(y))=y.f(1+f(x))$$
a, Chứng minh rằng nếu tồn tại $a$ khác $0$ để $f(a)\neq 0$ thì $f$ là song ánh
b, Tìm tất cả các hàm f
Cho: $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ thỏa mãn:
$$f((x+1)f(y))=y.f(1+f(x))$$
a, Chứng minh rằng nếu tồn tại $a$ khác $0$ để $f(a)\neq 0$ thì $f$ là song ánh
b, Tìm tất cả các hàm f
CM đơn ánh:
Xét $a,b \in \mathbb{R}$ thoả $f(a)=f(b)$
$=>f((x+1)f(a))=f((x+1)f(b))$
$=>af(1+f(x))=bf(1+f(x))$
Do $f(x)$ luôn khác 0 nên $a=b$
Suy ra f đơn ánh
Cho: $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ thỏa mãn:
$$f((x+1)f(y))=y.f(1+f(x))$$
a, Chứng minh rằng nếu tồn tại $a$ khác $0$ để $f(a)\neq 0$ thì $f$ là song ánh
b, Tìm tất cả các hàm f
cho $ y=1$ ta có $ f((x+1).f(1))= f(1+f(x))$
Nếu $ f$ đơn ánh thì $ (x+1).f(1)=1+f(x)$ như vậy hàm $ f$ có dạng $ f(x)=ax+b$. Thay vào phương trình đầu ta tìm được các hàm thỏa mãn $ f(x) \equiv 0, f(x) \equiv x, \forall x \in \mathbb{R}$.
Nếu $ f$ không đơn ánh thì tồn tại $ y_1 \ne y_2$ sao cho $ f(y_1)=f(y_2)$
Do đó $ f((x+1).f(y_1))=y_1f(1+f(x))=f((x+1).f(y_2)=y_2f(1+f(x)), \forall x \in \mathbb{R}$
và do $ y_1 \ne y_2$ nên $ f(1+f(x))=0, \forall x \in \mathbb{R} $, thay và phương trình đầu được $ f((1+x).f(y))=0 , \forall x,y \in \mathbb{R}$
Nếu tồn tại $ y_0$ sao cho $ f(y_0) \ne 0$ thì ta có điều mâu thuẫn.
Các hàm thỏa bài toán là $f(x) \equiv 0, f(x) \equiv x, \forall x \in \mathbb{R} $
Một cách khác để chứng minh $f(x)=x$ khi $f$ khác hằng:
CM đơn ánh:
Xét $a,b \in \mathbb{R}$ thoả $f(a)=f(b)$
$=>f((x+1)f(a))=f((x+1)f(b))$
$=>af(1+f(x))=bf(1+f(x))$
Do $f(x)$ luôn khác 0 nên $a=b$
Suy ra f đơn ánh
Theo chứng minh này, ta có $f$ đơn ánh.
Trong phương trình ban đầu thay $x=-1,y=1:f(0)=y.f(1+f(-1)).$
Nếu $1+f(-1) \neq 0$ thì với mỗi giá trị của $y$ ta lại nhận một giá trị của $f(0).$ Nghĩa là $f(0)$ có vô số giá trị khác nhau, vô lí.
Do đó $f(-1)=-1 \Rightarrow f(0)=0.$
Lại thay $x=0,y=1:f(f(1))=f(1) \Rightarrow f(1)=1.$ (do $f$ đơn ánh)
Lại thay $y=1:f(x+1)=f(1+f(x)) \Rightarrow f(x)=x.$ (do $f$ đơn ánh)
Sự học như con thuyền ngược dòng nước, không tiến ắt phải lùi.
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(x+xy+f(y)) = (f(x)+\frac{1}{2})(f(y)+\frac{1}{2})$Bắt đầu bởi Explorer, 07-08-2022 pth, số thực, đơn ánh, toàn ánh |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(x+f(x+y))=f(x+f(y))+x$Bắt đầu bởi poset, 18-05-2021 pth |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Giải tích →
Hàm số - Đạo hàm →
$f(xf(x)+f(y))=f^{2}(x)+y$Bắt đầu bởi hoangkimca2k2, 11-06-2018 pth |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Giải tích →
Hàm số - Đạo hàm →
$f(x^{2})+f(xy)=f(x)f(y)+...$Bắt đầu bởi hoangkimca2k2, 22-05-2018 pth |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f_{(2003)}(n)=5n\,\forall n$Bắt đầu bởi namcpnh, 12-02-2018 pth, namcpnh |
|
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh