Chủ đề này có 172 trả lời

[LTTK]

ĐỀ SỐ 97

 

Câu 1: Cho dãy số $\left ( x_n \right )^\infty _{n=1}$ thỏa mãn với $x_1=1$ và $x_{n+1}=5\left ( \sqrt{x_n+11}-\sqrt{x_n+4} \right )$ với mọi $n$ nguyên dương. Chứng minh rằng dãy số $\left ( x_n \right )^\infty _{n=1}$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn ấy.
 
Câu 2: Xét $M$ là tập tất cả các đa thức $p(x)=a_{2n}x^{2n}+a_{2n-1}x^{2n-1}+...+a_{1}x+a_0$ trong đó $n$ là số nguyên dương và $a_k$ là số thực thuộc đoạn $\left [ 100;101 \right ]$ với mọi $k=0,1,...,2n$

• 
  
• Chứng minh rằng tồn tại đa thức $p(x)$ thuộc $M$ có bậc bằng 200 và có nghiệm thực.
• Tìm số nguyên dương $n$ nhỏ nhất thỏa mãn tính chất : tồn tại một đa thức $p(x)$ thuộc $M$ có bậc bằng $2n$ và có nghiệm thực.

Câu 3: Cho tam giác $ABC$ . Đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ tiếp xúc với $BC$ ở $D$. $M$ là một điểm thay đổi trên $BC$ khác $B,C$. $(I_1),(I_2)$ theo thứ tự là đường tròn nội tiếp tam giác $ABM$ và $ACM$. $PQ$ là tiếp tuyến chung ngoài khác $BC$ của $(I_1),(I_2)$ (với $P\in\left ( I_1 \right )$ và $Q\in\left ( I_2 \right )$) . $S$ là giao điểm $BP$ và $CQ$. Chứng minh rằng :

• 
  
• Bốn điểm $M,I_1,I_2,D$ cùng nằm trên một đường tròn.
• $S$ luôn chạy trên một đường tròn cố định.

Câu 4: Một bộ ba số nguyên được $(x,y,z)$ được gọi là một bộ ba $Pythagore$ nếu như $x^2+y^2=z^2$. Tìm số $k$ nhỏ nhất sao cho trong mỗi tập con gồm $k$ phần tử của tập $S=\left \{ 1,2,...,25 \right \}$, luôn có ba phần tử tạo thành một bộ ba $Pythagore$ .
 
Câu 5: Cho đường tròn $(O)$ và hai điểm $A,B$ phân biệt, cố định không thuộc đường tròn. Đường thẳng $\Delta$ thay đổi qua $A$ cắt đường tròn $(O)$ tại hai điểm phân biệt $M,N$. Gọi $P,Q$ là các giao điểm thứ hai của $BM,BN$ với $(O)$. Các đường thẳng $PQ$ và $AB$ cắt nhau ở $C$. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $MCP$ chạy trên một đường thẳng cố định.
 
Câu 6: Cho dãy số $\left ( x_n \right )_{n\geq 0}$ xác định bởi $x_0=0,x_1=3$ và $x_{n+1}=\frac{7x_n+3\sqrt{4+5x_n^2}}{2}$ với mọi số nguyên không âm $n$.

• 
  
• Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy $\left ( x_n \right )_{n\geq 0}$ là số tự nhiên và $x_{2014}$ chia hết cho $x_{19}$.
• Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $a$ sao cho với mọi số nguyên dương $n$, trong biển diễn nhị phân của số $x_{an}$ có ít nhất $46^{2014}$ chữ số 1.

Câu 7:  Cho $x,y,z$ là các số thực không âm và đôi một phân biệt. Chứng minh rằng: $$\frac{x+y}{\left ( x-y \right )^2}+\frac{y+z}{\left ( y-z \right )^2}+\frac{z+x}{\left ( z-x \right )^2}\geq \frac{9}{x+y+z}$$
 
Câu 8: Có một người sử dụng bản đồ trên điện thoại di động để đi từ một điểm $A$ đến một điểm $B$ . Anh ta đã đi đến được điểm $B$ sau một số lần cứ đi một đoạn thẳng lại phải chỉnh lại hướng bằng cách quay một góc nhọn theo chiều kim đồng hồ. Biết rằng tổng các góc phải điều chình này bằng $\alpha < 180^{\circ}$. Chứng minh rằng độ dài đoạn đường anh ta đi không vượt quá $\frac{AB}{cos\frac{\alpha }{2}}$.

[LTTK]

ĐỀ SỐ 98

 

Câu 1 (5 điểm)
Cho dãy $(u_n)$ xác định bởi $$\left\{\begin{matrix} u_1=1\\ u_{n+1}=3u_n-\sqrt{u_n^2+1},n=1,2,3... \end{matrix}\right.$$
Tính $\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim} \dfrac{2u_{n+1}^2+3u_n^2}{u_{n+1}^2+2u_{n-1}}$.
 
Câu 2 (5 điểm)
Cho phương trình $x^4+4X^3-2ax^2-12x+a^2=0\;\;(1)$ với tham số $a \in (1,3)$. 
1) Chứng minh phương trình $(1)$ luôn có 4 nghiệm phân biệt.
2) Tính tổng $S=\sum_{i=1}^{4}\frac{2x_i^2+1}{(x_i^2-a)^2}$ theo $a$ với $x_1,x_2,x_3,x_4$ là bốn nghiệm của $(1)$.
 
Câu 3 (5 điểm)
Cho $n \geq 3$ là một số nguyên dương. Chứng minh với $n$ điểm phân biệt nằm trong mặt phẳng, sao cho trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng thì số tam giác có đỉnh được lấy trong $n$ điểm đã cho và có diện tích bằng $1$ không lớn hơn $\dfrac{2}{3}(n^2-n)$.
 
Câu 4 (5 điểm)
Từ điểm $P$ nằm ngoài đường tròn $(O)$, kẻ hai cát tuyến phân biệt $PAB,PCD$ sao cho $AC$ không song song $BD$. Gọi $E$ là giao của $AD,BC$. $F,G$ là trung điểm của $BD,AC$. $I$ đối xứng của $E$ qua $F$.
1) Chứng minh $PE,PI$ đẳng giác trong góc $APC$.
2) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác $EFG$ tiếp xúc với $PE$. 
 
Câu 5 (7 điểm)
Cho đường tròn $(O)$ và dây cung $BC$ cố định. $A$ di động trên cung lớn $BC$ sao cho tam giác $ABC$ không cân và $A$ không trùng $B,C$. Đường tròn nội tiếp $(I)$ của tam giác $ABC$ tiếp xúc $BC,CA,AB$ tại $D,E,F$. Đường thẳng qua $A$ song song $BC$ cắt $EF$ tại $K$. $N$ là giao của $ID,EF$. Chứng minh
1) Ba điểm $A,N,M$ thẳng hàng với $M$ là trung điểm $BC$.
2) Đường thẳng qua $I$ vuông góc $DK$ luôn đi qua một điểm cố định.
 
Câu 6 (6 điểm)
Cho $X,Y$ là hai tập khác rỗng rời nhau thỏa $X\cup Y=\left \{ 1,2,3...,10 \right \}$. Chứng minh tồn tại phần tử $a \in X$ và $b\in Y$ sao cho $a^3+ab^2+b^3$ chia hết cho $11$.
 
Câu 7 (7 điểm)
Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho tồn tại số nguyên dương $x$ để $4x^n+(x+1)^2$ là số chính phương.

[LTTK]

ĐỀ SỐ 99

 

Bài 1:
a)Chứng minh rằng mọi số nguyên tố khác 2 và khác 3 có dạng: $6m\pm 1$
b)Chứng minh rằng có vô số nguyên tố dạng: $6m-1$
 
Bài 2: Chứng minh rằng nếu $n$ là hợp số lớn hơn $4$ thì biểu thức:
               $A=1.2.3.4....(n-2)(n-1)$ $\vdots$ $n$
 
Bài 3: Người ta viết $n$ số nguyên khác 0 thành một hàng ngang (theo thứ tự từ trái sang phải) sao cho mỗi tổng ba số liên tiếp bất kì là số dương và tổng của $n$ số nguyên đó là số âm
a) Chứng minh rằng $n$ không thể là bội của $3$
b)GIả sử (n-2) chia hết cho $3$ và số đầu tiên là số dương.Chứng minh rằng số thứ $3k+2(k=0,1,2,...)$ là số âm, còn số thứ $3k(k=1,2,3,...)$ là số dương
 
Bài 4: Mỗi điểm của mặt phẳng được tô bằng một trong hai màu đen và đỏ.Chứng tỏ rằng tồn tại một tam giác đều mà các đỉnh của nó chỉ được tô bằng một màu
 
Bài 5: Cho $\Delta ABC$ vuông cân tại $A$,các cạnh góc vuông là $a$.Gọi $M$ là trung điểm của $BC$.Từ đỉnh $M$ vẽ góc $45^0$, các cạnh của góc này cắt một hoặc hai cạnh của tam giác tại $E,F$
 
Hãy xác định vị trí của $E,F$ sao cho $S_{MEF}$ đạt $GTLN$.Tính giá trị đó theo $a$

[LTTK]

ĐỀ SỐ 100

 

Câu 1 (5 điểm)
Giải phương trình :
$$(5x-4)\sqrt{2x-3}-(4x-5)\sqrt{3x-2}=2$$
 
Câu 2 (5 điểm)
Tìm tất cả các hàm số $g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ và thoả :
$$g\left [ g(x)-x^2+yz \right ]=g(x)\left [ g(x)-2x^2+2yz \right ]+z^2\left [ y^2-g(y) \right ]+y^2\left [ z^2-g(z) \right ]-2x^2yz+x+g(y)g(z)+x^4,\;\forall x,y,z\in \mathbb{R}$$
 
Câu 3 : (5 điểm)
Một số tự nhiên được gọi là "số may mắn" nến tổng các chữ số của nó là $7$. Gọi $a_1,a_2,...,a_n,..$ là dãy tất cả các "số may mắn" được sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Hỏi :
1. Số $2014$ là số hạng thứ mấy của dãy  ?
2. Số hạng $a_{325}$ là số nào ?
 
Câu 4 (5 điểm)
Tam giác $ABC$ vuông tại $A$. $D$ đối xứng $B$ qua $A$ và $M$ là trung điểm $CD$. Đường tròn $(BDM)$ cắt $AC$ ở $E$ nằm trong tam giác $ABC$. Đường tròn $(BCE)$ cắt $BM$ tại $F$ khác $B$. $BE,CF$ cắt nhau ở $I$. $BM,DI$ cắt nhau ở $K$.
1. Chứng minh $CM=MF$.
2. Chứng minh $I$ là tâm nội tiếp tam giác $BKC$.

[LTTK]

ĐỀ SỐ 101

 

Câu 1: (4điểm) Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh:
                      $\frac{a^2+b^2}{c}+\frac{b^2+c^2}{a}+\frac{c^2+a^2}{b} \geqslant 2$
 
Câu 2: (6đ) Cho tam giác $ABC$, điểm $X$ thay đổi trên đường thẳng $BC$ sao cho $C$ nằm giữa $B$ và $X$. Gọi $M$ là trung điểm của $AB$. Đường tròn nội tiếp tam giác $ABX$ tiếp xúc với $BX, AX$ lần lượt tại $D,E$.
     a) Gọi $I$ là giao điểm của $DE$ và phân giác trong của góc $B$. Chứng minh $MI || BC$[/font]
     b) Các đường tròn nội tiếp các tam giác $ABX$ và $ACX$ cắt nhau tại $P$ và $Q$. Chứng minh rằng đường thẳng $PQ$ đi qua một điểm cố định.
 
Câu 3: (5đ) Phân chia tập $A=\left \{ 1;2;3;...;2016 \right \}$ thành $1008$ tập con rời nhau, mỗi tập gồm hai phần tử, ta gọi kích thước của mỗi tập con là tổng hai phần tử của nó. Gọi $x$ là số các tập con mà kích thước của chúng phân biệt từng đôi một và không vượt quá $2016$, gọi $S$ là tổng tất cả các phần tử của các tập con đó.
     a) Chứng minh rằng      $x(2x+1) \leqslant S \leqslant \frac{-x^2+4033x}{2}$
     b) Tìm giá trị lớn nhất của $x$.[/font]
 
Câu 4: (5đ) Với một số nguyên dương $n$ cho trước, gọi $f(n)$ là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho $\sum_{k=1}^{f(n)} k$  là bội của $n$. Chứng minh rằng $f(n)=2n-1$ khi chỉ khi $n$ là lũy thừa của $2$[/font]
 

[LTTK]

ĐỀ SỐ 102

 

Câu 1 (4 điểm).
 
a) Giải bất phương trình:$\frac{2-x+\sqrt{x}}{\sqrt{2(x^2-5x+9)}-1}\leq 1$
 
b) Giải hệ phương trình:$\left\{\begin{matrix} 9x^2+y^2+\sqrt{5-6x}=6 & & \\ 9x^3+2x+(y-1)\sqrt{1-3y}=0 & & \end{matrix}\right.$
 
Câu 2 (3 điểm). Cho tam giác ABC nhọn,không cân nội tiếp đường tròn (O;R),ngoại tiếp đường tròn (I,r).G là trung điểm đoạn BC.Đường tròn (I;r) tiếp xúc với BC,CA,AB lần lượt tại D,E,F.Đường thẳng EF cắt đường tròn (O) tại M,N.Trên tia đối của tia OG lấy điểm H sao cho OH=R+r
 
a) Chứng minh M,N,D,G cùng nằm trên đường tròn tâm K
 
b) Chứng minh rằng K,D,H thẳng hàng
 
Câu 3 (3 điểm).
 
a) Có bao nhiêu số nguyên dương có năm chữ số $\overline{abcde}$ sao cho $a\leq b< c< d\leq e$
 
b) Cho $f(x)$ là đa thức bậc ba với hệ số cao nhất là 2 và thỏa mãn $f(2014)=2015,f(2015)=2016$.Tính $f(2016)-f(2013)$
 
c) Cho các số thực dương $a,b,c>0$ sao cho $max\left \{ a;b;c \right \}-min\left \{ a;b;c \right \}\leq 1$.Chứng minh rằng:
 
$$1+a^3+b^3+c^3+6abc\geq 3a^2b+3b^2c+3c^2a$$

[LTTK]

ĐỀ SỐ 103

 

Câu 1. Cho hàm số $y=\dfrac{x+2}{2x-1}$ có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết rằng tiếp tuyến đó tạo với đường thẳng $d: 2x+3y-1=0$ một góc $45^0$.
 
Câu 2. Tìm các giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y=mx^3-3mx^2+(2m+1)x+3-m$ có hai điểm cực trị $A$ và $B$ sao cho khoảng cách từ điểm $I\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{15}{4}\right)$ đến đường thẳng $AB$ đạt giá trị lớn nhất.
 
Câu 3. Cho đa giác đều $(H)$ có $n$ đỉnh ($n\in\Bbb{N}, n>4$). Tìm $n$, biết rằng số các tam giác có ba đỉnh là đỉnh của $(H)$ và không có cạnh nào là cạnh của $(H)$ gấp 5 lần số tam giác có ba đỉnh là đỉnh của $(H)$ và có đúng một cạnh là cạnh của $(H)$.
 
Câu 4. Tính tích phân $I=\int\limits_1^2\dfrac{\ln x-1}{x^2-\ln^2x}\;\mathrm{d}x$.
 
Câu 5. Giải phương trình $(1+x)(2+4^x)=3.4^x$
 
Câu 6. Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác đều tâm $O$. Hình chiếu vuông góc của $C'$ lên mặt phẳng $(ABC)$ trùng với $O$. Biết khoảng cách từ $O$ đến $CC'$ bằng $a$, góc giữa hai mặt phẳng $(ACC'A')$ và $(BCC'B')$ bằng $60^0$. Tính theo $a$ thể tích khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ và khoảng cách giữa hai đường thẳng $CC'$ và $AB'$.
 
Câu 7. Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):x-y-2z-5=0$ và đường thẳng $d: \dfrac{x-2}{4}=\dfrac{y-3}{2}=\dfrac{z+3}{1}$. Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ nằm trong $(P)$, song song với $d$ và cách $d$ một khoảng bằng $\sqrt{14}$.
 
Câu 8. Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ có đỉnh $A(3;3)$, đường phân giác trong của góc $A$ có phương trình $x-y=0$. Điểm $I(2;1)$ là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác $ABC$. Tìm toạ độ các đỉnh $B$ và $C$ biết rằng $BC=\dfrac{8}{\sqrt5}$ và góc $\widehat{BAC}$ nhọn.
 
Câu 9. Giải hệ phương trình $\begin{cases} \dfrac{x^3+y^3}{xy}-\sqrt{xy}=\sqrt{\dfrac{x^2+y^2}{2}}\\ 2015^{3x-y-1}+x-3y+1=\sqrt{4x^2-4y+2}\end{cases}$
 
Câu 10. Cho các số thực dương $a,b,c$ thoả mãn $a^2+b^2+c^2+ab=2(a+b)c$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\dfrac{c^2}{(a+b-c)^2}+\dfrac{c^2}{a^2+b^2}+\dfrac{\sqrt{ab}}{a+b}$.

[LTTK]

ĐỀ SỐ 104

 

Bài 1: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

$ab+bc+ca+max(|a-b|,|b-c|,|c-a|)\leqslant 1+\frac{1}{3}(a+b+c)^{2}$

trong đó $max(x,y,z)$ là số lớn nhất trong bộ ba số $x,y,z$

 

Bài 2: Cho các số nguyên dương $a,b,c. p$ nguyên tố thỏa mãn đồng thời 3 điều kiện sau:
          a) $a^{2}+ab+b^{2}\vdots p$
          b) $a^{5}+b^{5}+c^{5}\vdots p$
          c) $a+b+c$ không chia hết cho $p$
Chứng minh rằng $p$ là số nguyên tố có dạng $6k+1$

 

Bài 3: Cho $\Delta ABC$ khác tam giác cân nội tiếp đường tròn w. Gọi D,E,F lần lượt là tâm đường tròn bàng tiếp ừng với ba đỉnh A,B,C. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Đường tròn (EIF) cắt w tại $A_{1},A_{2}$.
        a) Chứng minh $A_{1}A_{2},EF,BC$ đồng quy
        b) Đường tròn (DIF) cắt w tại $B_{1},B_{2}$, đường (DIE) cắt tại $C_{1},C_{2}$. $A_{1}A_{2},B_{1}B_{2},C_{1}C_{2}$ tạo thành 1 tam giác. Chứng minh diện tích tam giác này nhỏ hơn $\frac{1}{4}$ diện tích tam giác ABC.

 

Bài 4: Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa $f(xf(y)-1)$ + $f(xy)$ = $2xy-1$ với mọi $x,y$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LTTK: 27-10-2016 - 20:32

[LTTK]

ĐỀ SÓ 105

 

Bài 1. Cho dãy đa thức $P_n(x)$ xác định bởi $P_0(x)=2,P_1(x)=x,P_{n+1}(x)=xP_n(x)-P_{n-1}(x)$ với mọi $n=1,2,3, \cdots $
a) Chứng minh rằng tất cả các đa thức $P_n(x)$ với $n=0,1,2, \cdots$ đều thoả mãn phương trình đa thức
\begin{equation} \label{1} P(x^2-2)=p^2(x)-2 \end{equation} 
Hơn nữa, mọi đa thức khác hằng là nghiệm của $\eqref{1}$ đề nằm trong dãy đa thức $P_n(x)$.
b) Chứng minh rằng với mọi $n \ge 1$. Đa thức $P_n(x)$ có đúng $n$ nghiệm thực phân biệt.
 
Bài 2. a) Tìm tất cả các số nguyên dương lẻ $t$ thoả mãn tính chất: với mọi số nguyên dương $k$, tồn tại số nguyên dương $a_k$ sao cho $a_k^2+t$ chia hết cho $2^k$.
 
b) Chứng minh rằng tồn tại dãy số nguyên dương $(a_k)_{k=1}^{\infty}$ sao cho $a_k^2+7$ chia hết cho $2^k$ với mọi $k$ và $\frac{a_{k+1}^2+7}{2^{k+1}}$ chia hết cho $\frac{a_k^2+7}{2^k}$ với mọi $k=1,2,3, \cdots$
 
Bài 3. Từ điểm $A$ ngoài đường tròn $(O)$ kẻ tiếp tuyến $AB,AC$ tới $(O)$. Gọi $E,F$ lần lượt là trung điểm $AB,AC$. Từ một điểm $M$ trên $EF$ ($M \ne E,F$) kẻ tiếp tuyến $MP,MQ$ tới $(O)$. $PQ$ cắt $EF$ tại $N$. $OA$ lần lượt cắt $BC,PQ,EF$ tại $G,H,D$. $MH$ cắt $ON$ tại $K$.
a) Chứng minh tứ giác $MNKG$ nội tiếp đường tròn tâm $I$.
 
b) Tia $IH$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $OMN$ tại $J$. $OJ$ cắt $EF$ tại $T$. Chứng minh các đường tròn ngoại tiếp tam giác $JKH$ và $DTK$ tiếp xúc với nhau.
 

[LTTK]

ĐỀ SỐ 106

 

Câu 1: Giải phương trình $4x+\sqrt{2x^2+3x+1}-\frac{1}{x}=3$
 
Câu 2: Cho tam giác $ABC$ không vuông, không cân nội tiếp $(O)$. Trên $BC$ lấy $M$ là trung điểm, $AC$ lấy $N$ là trung điểm, $AB$ lấy $P$ là trung điểm. Trên tia $OM$ lấy $A_1$ sao cho tam giác $OAM$ đồng dạng $OA_{1}A$ . Tương tự cho cách lấy $B_1, C_1$. Chứng minh $AA_1,BB_1,CC_1$ đồng qui
 
Câu 3: Cho $x,y,z >0$. Chứng minh:
$(1+\frac{x}{y})(1+\frac{y}{z})(1+\frac{z}{x})\geq 2+2\frac{x+y+z}{\sqrt[3]{xyz}}$
 
Câu 4: Tìm các số nguyên dương $n$ để:
 $n^4-4n^3+22n^2-36n+18$ là số chính phương
 
Câu 5: Cho $f:R\rightarrow R$. Tìm các hàm $f$ thỏa: 
$f(x+y)=f(x)+f(y)$ và $f$ đơn điệu

[LTTK]

ĐỀ SỐ 107

 

Bài 1 (5 điểm)
Xét dãy số $(u_n):\left\{\begin{matrix} u_1=\frac{1}{2},u_2=\frac{3}{2}\\u_{n+1}=\frac{\sqrt[20]{u_n}+\sqrt[15]{u_{n-1}}}{2}\ \ ,\forall n\ge 2 \end{matrix}\right.$
Chứng minh rằng $(u_n)$ hội tụ và tính $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n$
 
Bài 2 (5 điểm)
Cho hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ sao cho 

$(y+1)f(x)+f\left ( xf(y)+f(x+y) \right )=y\ \ ;\forall x,y\in \mathbb{R}$

$a)$ Chứng minh rằng $f(0)\neq 1$
$b)$ Tìm tất cả hàm số $f(x)$ thỏa mãn điều kiện 
 
Bài 3 (5 điểm)
Cho $\Delta ABC$ có tâm đường tròn nội tiếp $I$.Một đường tròn qua $B,C,$ cắt các đoạn $BI,CI$ tại $P,Q$ sao cho $BP.CQ=PI.QI$.Chứng minh rằng
$a)$ $(PQI)$ và $(ABC)$ tiếp xúc nhau tại $T$
$b)$ $TI$ đi qua trung điểm của $PQ$
 
Bài 4 (5 điểm)
Cho $15-\text{giác đều}\ A_1A_2...A_{15}$ nội tiếp đường tròn $(O)$.Có bao nhiêu tứ giác lồi $ABCD$ không là hình thang mà $A,B,C,D\in \left \{ A_1,A_2,...,A_{15} \right \}$ và $O$ nằm trong $ABCD$ $($ hai tứ giác gọi là khác nhau nếu tập hợp các đỉnh của chúng là khác nhau $)$
 
 

[LTTK]

ĐỀ SỐ 108

 

Bài 1 (5 điểm)
Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O)$.$AD\cap BC=E,AB\cap CD=F$ và $AC\cap BD=M,EM\cap OF=N$.Gọi $P,Q$ là trung điểm của $AC,BD$.$(AQD)\cap (BQC)=R\neq Q$.Chứng minh rằng $M,N,O,P,Q,R$ cùng nằm trên một đường tròn
 
Bài 2 (5 điểm)
Tìm tất cả các đa thức $\mathcal{P}(x)\in \mathbb{R}\left [ x \right ]$ sao cho $\forall x,y,z:xy+yz+zx=1$ thì

$\mathcal{P}(x)+\mathcal{P}(y)+\mathcal{P}(z)=\mathcal{P}(x+y+z)$

 

Bài 3 (5 điểm)
Tìm $x,y$ nguyên dương sao cho 

$3x^5+4x+5=9.4^y$

 

Bài 4 (5 điểm)
Cho đa thức lồi $\mathcal{G}$ có $2016$ cạnh.$\mathcal{X}$ là tập chứa $n(n\ge 2)$ cạnh hay đường chéo của $\mathcal{G}$ sao cho $2$ đoạn bất kì trong $\mathcal{X}$ đều có điểm chung.
Tìm giá trị lớn nhất của $n$

[LTTK]

ĐỀ SỐ 109

 

Bài 1: 
Cho $a;b;c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng:
$\frac{1}{a\sqrt{a+b}}+\frac{1}{b\sqrt{b+c}}+\frac{1}{c\sqrt{c+a}} \geq \frac{3}{\sqrt{2abc}}$

Bài 2:
Tìm tất cả các hàm số : $f:R^{*}\rightarrow R^{*}$ thỏa mãn $f(x).f(y)=f(x+y.f(x))$. mọi $x;y$ thuộc $R^{*}$

Bài 3: 
Một số nguyên dương $n$ được gọi là đẹp nếu như nó có thể biểu diễn dưới dạng $\frac{(x^{2}+y)(x+y^{2})}{(x-y)^{2}}$, trong đó $x>y$ là các số nguyên dương.
$1.$ Chứng minh rằng tập các số đẹp chứa vô hạn số lẻ và vô hạn số chẵn
$2.$ Tìm số nguyên dương bé nhất mà là số đẹp.
 
Bài 4: 
Cho $\Delta ABC$ với $E;F$ là hai điểm lần lượt nằm trên cạnh $CA;AB$ sao cho $AE=AF.$. $EF$ cắt $BC$ tại $D$.
Gọi $K;L$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác $DBF;DCE.$. $BE$ cắt $CF$ tại $H$. $AH$ cắt $BC$ tại $S$.
Gọi $G$ là điểm đối xứng với $D$ qua $KL$.. Lấy $T$ thuộc $DG$ sao cho $ST$ vuông góc với $BC$. Gọi $M$ là trung điểm $ST$.
Chứng minh rằng đường thẳng $GM$ luôn đi qua một điểm cố định khi $E;F$ thay đổi..

[LTTK]

ĐỀ SỐ 110

 

Câu 1:Cho hàm số y=$2x^{3}-3mx^{2}+(m-1)x+1$ (1) với đồ thị $(C_{m})$ (m$\in$R)
1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m=1.
2)Tìm m để đường thẳng y=2x+1 cắt đồ thị $(C_{m})$ tại 3 điểm phân biệt A,B,C sao cho C(0;1) nằm giữa A và B sao cho đoạn thẳng AB có độ dài bằng $\sqrt{55}$.

 

Câu 2:
1. Giải phương trình        $\frac{(cosx+1)(sin2x-sinx-cosx-2)}{sinx(1-2cosx)}=1$
2. Giải hệ phương trình:
                 $\left\{\begin{matrix}5+16.4^{x^2-2y}=(5+16^{x^2-2y}).7^{2y-x^2+2} & \\ x^2+17x+10y+17=2(x^2+4)\sqrt{4y+11} & \end{matrix}\right.$

 

Câu 3:
1. Cho a,b,c là các số thực dương. Tìm GTLN của biểu thức:
  P=$\frac{8a+3b+4(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt[3]{abc})}{1+(a+b+c)^2}$
2.Tìm các giá trị thực của m để hệ bất pt $\left\{\begin{matrix}log_{2}(x+y)\leq 0 & \\ x+y+\sqrt{2xy+m}\geq 1 & \end{matrix}\right.$ có nghiệm thực duy nhất.

 

Câu 4:
1. Tìm tập hợp tất cả các số tự nhiên có 5 chữ đều khác 0, lấy ngẫu nhiên một số. Tính xác suất để số tự nhiên được lấy ra chỉ có mặt 3 chữ số khác nhau.
2. Trong mp tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD với M,N lần lượt là trung điểm của đoạn AB và BC. Gọi H là chân đường cao kẻ từ B xuống CM. Tìm tọa độ các đỉnh của hình cuông ABCD biết N($-1;-\frac{5}{2}$) , H$(-1;0)$ và điểm D nằm trên dường thẳng (d):x-y-4=0

 

Câu 5:
1. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật có AB=a, AD=b, SA vuông góc với đáy (ABCD) và SA=2a. Gọi M là điểm nằm trên SA sao cho AM=x (0<x<2a). Tính diện tích thiết diện hình chóp cắt bởi mp(MBC). Tìm x theo a để mp(MBC) chia khối chóp thành 2 phần có thể tích bằng nhau.
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x+y-z+2=0 và hai điểm A(3;4;1), B(7;-4;-3). Tìm điểm M trên (P) sao cho tam giác ABM vuông tại M và có diện tích nhỏ nhất.

[LTTK]

ĐỀ SỐ 111

 

Bài 1. a) Chứng minh rằng với mọi $a>2$ thì phương trình $x^3-2x=a$ có nghiệm duy nhất và hơn nữa nếu $m$ là nghiệm thì $m>1$.

b) Cho dãy số $(x_n)$ xác định như sau: $x_1=1$ và $x_{n+1}$ là nghiệm duy nhất của phương trình $x^3-2x=1+\sqrt[3]{3x_n+1}$. Chứng minh rằng dãy $(x_n)$ có giới hạn hữu hạn.
 
Bài 2. Cho $a,b,c$ là các số thực không âm sao cho $(a+b)(b+c)(c+a)>0$. Chứng minh rằng ta có bất đẳng thức $$\frac{ab}{(a+b)^2}+ \frac{bc}{(b+c)^2}+\frac{ca}{(c+a)^2}+ \frac 54 \ge \frac{6(ab+bc+ca)}{(a+b+c)^2}.$$
 
Bài 3. Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn $( C)$. Gọi $B_1,C_1$ lần lượt là trung điểm $AC,AB$. Kí hiệu $D$ là chân đường cao hạ từ $A$ và $G$ là trong tâm tam giác $ABC$. Gọi $(C')$ là đường tròn qua $B_1$ và $C_1$, đồng thời tiếp xúc với $(  C)$ tại $X \ne A$.
a) Gọi $W$ là giao điểm của tiếp tuyến tại $X$ của $( C)$ với $B_1C_1$. Chứng minh rằng $WA$ tiếp xúc với $( C)$.
b) Chứng minh rằng $D,G,X$ thẳng hàng.
 
Bài 4. Trường phù thuỷ và pháp sư Hogwarts có $n$ học sinh. Các học sinh của trường rất hiếu động và tham gia nhiều câu lạc bộ khác nhau. Cả trường có tất cả $m$ câu lạc bộ. Theo quy định của trường mà thầy hiệu trưởng Albus Dumbledore công bố thì mỗi câu lạc bộ phải có ít nhất $2$ thành viên. Nghiên cứu danh sách các câu lạc bộ của trưởng, Harry Potter nhận thấy một điều thú vị sau đây: Nếu hai câu lạc bộ nào đó có ít nhất $2$ thành viên chung thì câu lạc bộ đó sẽ có số thành viên khác nhau. Chứng minh rằng $m \le (n-1)^2$.

[LTTK]

ĐỀ SỐ 112

 

Câu 1 (2,0 điểm). Cho dãy các số thực dương $\left(x_n\right)_{n=1}^{+\infty}$ thỏa mãn điều kiện:
$$x_{n+1} \leq \dfrac{1}{s_{n+1}}\left(\left(s_{n}-1\right)x_{n}+x_{n-1}\right),n=2,3,\ldots,$$
trong đó $s_n = x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}$. Chứng minh rằng $\lim_{n \to +\infty}x_n=0$.
 

Câu 2 (2,0 điểm). Cho $a,b,c \in \left(1;+\infty\right)$ và các số thực $x,y,z$ thỏa mãn $a^x=bc,b^y=ca,c^z=ab$. Chứng minh rằng:
$$\dfrac{x}{2+x}+\dfrac{y}{2+y}+\dfrac{z}{2+z} \geq \dfrac{3}{2}$$
 

Câu 3 (2,0 điểm). Tìm tất cả các bộ ba số nguyên không âm $\left(a;b;c\right)$ thỏa mãn:
$$3^a+2^b+2015=3 \cdot c!$$ (ở đây quy ước $0!=1$ và $n!=1 \cdot 2 \cdots n$ )
 

Câu 4 (3,0 điểm). Cho tam giác $ABC$. Xét các điểm $E$ và $F$ thay đổi nằm trong góc $ABC$ sao cho $\widehat{EBA}=\widehat{FBC},\widehat{EAB}=\widehat{FCB}$. Gọi $M$ là điểm đối xứng với $F$ qua phân giác của $\widehat{FBA}$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $MAC$ cắt lại đường thẳng $BC$ tại $N$.
a) Chứng minh rằng tam giác $BEN$ cân
b) Đường thẳng qua $E$ song song với $BC$ cắt đường thẳng qua $F$ song song với $AB$ cắt nhau ở $P$. Chứng minh rằng $P$ luôn nằm trên một đường thẳng cố định.
 

Câu 5 (1,0 điểm). Ta viết lên bảng $2016$ số nguyên dương $a_{1},a_{2},\ldots,a_{2016}$ và có ước số chung lớn nhất bằng $1$. Ta thực hiện việc thay số trên bảng như sau: tại mỗi bước thay số ta chọn ra hai số $x,y \left(x\leq y\right)$ trên bảng và thay hai số đó bằng hai số $2x,y-x$. Hỏi các số $a_{1},a_{2},\ldots,a_{2016}$ phải thỏa mãn điều kiện gì để sau hữu hạn bước thay số ta được trên bảng xuất hiện $2015$ số $0$ ?

[LTTK]

 ĐỀ SỐ 113

 

 

Câu 1 (5,0 điểm)
          a) Giải bất phương trình $\sqrt{2x^2-4x+6}-\sqrt{2x-1}>x-2$
          b) Giải hệ phương trình :$\left\{\begin{matrix} 2y^3+y+2x\sqrt{1-x}-3\sqrt{1-x}=0\\ \sqrt{9-4y^2}=2x^2+6y^2-7 \end{matrix}\right.\ x,y\in \mathbb{R}$
 

Câu 2 (5,0 điểm)
         Cho dãy số $(u_n)$ được xác đinh bởi $\left\{\begin{matrix}u_1=2\\u_2=3\\ u_n=nu_{n-1}-(n-2)u_{n-2}-2n+4,\ \forall n\geq 3 \end{matrix}\right.$
         a) Tìm số hạng tổng quát của dãy $(u_n)$
         b) Tìm số dư khi chia $u_{2016}$ cho 2015
 

Câu 3 (5,0 điểm)
         Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho các điểm $A(1;1)\ ,\ B(2;5)\ ,\ C(4;7)$.
         Viết phương trình đường thẳng $d$ đi qua $A$ sao cho tổng khoảng cách từ $B$ và $C$ đến $d$ là lớn nhất
 

Câu 4 (5,0 điểm)

Cho số nguyên dương $R$ và một bảng hình chữ nhật chia thành $20\times 15$ ô vuông. Những nước đi được thực hiện trên bảng như sau : ta chuyển từ một ô vuông này đến môt ô vuông kia khi khoảng cách giữa hai tâm của hai ô vuông đó bằng $\sqrt{R}$. Bài toán đặt ra là làm sao có thể tìm được một dãy các nước đi để chuyển từ ô này sang ô kia, mà hai ô đó nằm ở hai góc kề nhau của bảng, hai góc đó nằm trên cùn một chiều dài của bảng hình chữ nhật nói trên.

         a) Bài toán có giải quyết được không khi $R$ chia chết cho 2 hoặc cho 3? Tại sao ?
         b) Bài toán có giải quyết được không khi $R=73$ ? Tại sao ? Hãy tìm dãy các nước đi nếu bài toán giải được.

 

 
 

Câu 5 (5,0 điểm)

Cho hai đa thức với hệ số thực $f(x)=7776x^5+ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$ và $g(x)=6x^2+11x+2015$. Biết rằng phương trình $f(x)=0$ có 5 nghiệm phân biệt và phương trình $f(g(x))=0$ không có nghiệm thực. Chứng minh rằng $\sqrt[10]{f(2015)}>\dfrac{11}{2}$          

 

Câu 6 (5,0 điểm)
          Với mỗi số tự nhiên $k>0$, số $(2+\sqrt{5})^{2k}$ luôn viết được dưới dạng $a_k+b_k\sqrt{5}$ với $a_k,b_k$ là các số nguyên dương         
          a) Tìm hệ thức xác định dãy $(a_k),(b_k).$
          b) Chứng minh $20b_kb_{k+1}+16$ là số chính phương.
          c) Chứng minh $a_{k+2}^2-1$ chia hết cho 5.
 

Câu 7 (5,0 điểm)

Cho tứ giác lồi $ABCD$ có hai đường chéo không vuông góc với nhau, nội tiếp đường tròn $(O)$. Gọi $E$ là điểm di chuyển trên cung $AB$ không chứa $C,D$. Gọi $M$ là giao điểm của $ED$ với $AC$, $N$ là giao điểm của $EC$ với $BD$. $(AEM)$ và $(BEN)$ cắt nhau tại giao điểm thứ hai $F$, Chứng minh rằng $EF$ luôn đi qua một điểm cố định. 

[LTTK]

ĐỀ SỐ 114

 

Câu $1$ ($5,0$ điểm)
Cho $3$ số dương $a;b;c$ chứng minh rằng :
$\sum \frac{a}{b+c}+ \sum \sqrt{\frac{a}{2b+2c}} \geq 3$
 
Câu $2$ ($5,0$ điểm)
Tìm tất cả các số tự nhiên $a$ sao cho tồn tại số nguyên dương $n$ lớn hơn $1$ và thỏa mãn $a^{n}+1$ chia hết cho $n^{2}$
 
Câu $3$ ($5,0$ điểm)
Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp ($O$)
$a)$ Gọi $J$ là giao điểm $AC$ và $BD$. Đường tròn ($O'$) tiếp xúc với hai tia $JA;JB$ tại $E;F$ và tiếp xúc trong với ($O$). Chứng minh đường thẳng $EF$ đi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABD$
$b)$ Các đường phân giác ngoài của các góc tứ giác $ABCD$ cắt nhau tạo thành tứ giác $MNPQ$. Gọi $X;Y$ lần lượt là trung điểm của $MP;NQ$ . Chứng minh rằng $X;O:Y$ thẳng hàng. 

Câu $4$ ($5,0$ điểm)
Viết các số từ $1$ đến $2015$ lên bảng. Ta chọn hai số bất kì $a;b$ trên bảng và xóa chúng đi. Sau đó viết thêm $|a-b|$ lên bảng. Thực hiện liên tiếp cho đến khi bảng chỉ còn lại một số. Gọi số đó là $m$
$a)$ Số $m$ có thể bằng $1$ hay không ?
$b)$ Tìm tập hợp các giá trị của $m$ .

[LTTK]

ĐỀ SỐ 115

 

Câu 1: Cho $a,b,k$ là các số nguyên dương thỏa mãn $k=\frac{a^2+ab+b^2}{ab+1}$. Chứng minh rằng $k$ là một số chính phương.

 

Câu 2: Cho dãy số $(x_n)$ được xác định bởi công thức $x_0=4$;$x_{n+1}=\frac{3x_n}{2x_n+3-\sqrt{x_n^2+9}}$, mọi $n\in N$
Chứng minh dãy số $(x_n)$ có giới hạn hữu hạn, tìm giới hạn đó.

 

Câu 3:
1.Cho $A_1,A_2,A_3,...A_64$ là các tập hợp con của tập hợp $A=${$1,2,3,...,2016$}, trong đó mỗi tập hợp $A_i(i=1,2,...,64)$ có đúng $1008$ phần tử. 
Chứng minh rằng trong các tập hợp $A_i(i=1,2,...,64)$ luôn tìm được hai tập hợp có chung ít nhất $496$ phần tử.
2. Cho $m$ người tham gia một cuộc thi ném $10$ quả bóng vào một chiếc rổ ($m$ là số tự nhiên lẻ và $\geq3$), gọi $k$ là một số nguyên dương sao cho nếu lấy ra $2$ người bất kì trong $10$ người chơi thì kết quả của hai người giống nhau tại nhiều nhất $k$ lần ném. Chứng minh $k\geq \frac{5(m-1)}{m}$.

 

Câu 4:
1. Tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn tâm $K$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm $AC,BD$. Giả sử $AB$ cắt $CD$ tại $E$ và $AD$ cắt $BC$ tại $F$. Gọi $O,O'$ là tâm các đường tròn ngoại tiếp tam giác $EMN$ và $FMN$. Đường thẳng qua $F$ và vuông góc với $ME$ cắt $OO'$ tại $P$.
Chứng minh rằng:
a) $EF$ là tiếp tuyến chung của  hai đường tròn $(MNE)$ và $(MNF)$.
b) $MP$ vuông góc với $MF$.
2. Cho đường tròn đường kính $AB$. Gọi $m,n$ lần lượt là tiếp tuyến tại $A,B$ của đường tròn. Trên mặt phẳng bờ $n$ chứa $A$ lấy một điểm $M$ ở ngoài đường tròn thỏa mãn: tia $MA$ và các tiếp tuyến $MT$, $MT'$ lần lượt cắt $n$ tại $C,P,Q$. Chứng minh rằng $PC=QB$

[LTTK]

ĐỀ SỐ 116

 

Câu 1 ($3,0$ điểm)
Cho a+b=1 và $ab\neq 0$. Chứng minh rằng $\frac{a}{b^3-1}+\frac{b}{a^3-1}= \frac{2(ab-2)}{a^2b^2+3}$
 
Câu 2 ($6,0$ điểm)
Giải các phương trình sau:
a) $(x^2-9)(9x^2-1)=20x+1$
b) $\sqrt{\frac{2-2x}{x}}+5=9x$
 
Câu 3 ($3,0$ điểm)
Cho a,b là các số dương thỏa mãn điều kiện $a+b\leq 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$P=a+b+\frac{1}{a}+\frac{9}{b}$
 

Câu 4 ($3,0$ điểm)
Cho hình chữ nhật ABCD. Qua B kẻ hai đường thẳng vuông góc với nhau. Một đường cắt cạnh AD tại K, đường kia cắt bên ngoài cạnh CD tại L. Gọi F là giao điểm của KL và AC. Chứng minh BF vuông góc với KL.
 
Câu 5 ($3,0$ điểm)
Cho tam giác ABC có $\widehat{ABC}=30^o$. Về phía ngoài của $\Delta ABC$ dựng tam giác đều ACD.Chứng minh $AB^2+BC^2=BD^2$

Câu 6: (2 điểm):
Trên bảng là một con số. Hai bạn Nhân và Chia cùng chơi một trò chơi như sau : Bạn Nhân, khi đến lượt mình thì đem số trên bảng nhân với 2 và đem kết quả này thay cho số trên bảng; Bạn Chia, khi đến lượt mình đem số trên bảng cộng 1 rồi chia cho 2 và đem kết quả này thay cho số cũ. Ai ra được kết quả bằng 2015 thì người đó thắng. Nhân đi trước, Chia đi sau và sau 2016 lượt chơi (mỗi bạn chơi đúng 2016 lần) thì Chia thắng.
a) Hỏi số trên bảng lúc đầu là bao nhiêu?
b) Nếu chia đi trước tì ai sẽ thắng?