Chủ đề này có 172 trả lời

[LTTK]

ĐỀ SỐ 58

 

Bài 1 (5 điểm).
Giải hệ phương trình:$\left\{\begin{matrix} x+y+z=6 & & & \\ xy+yz-zx=7 & & & \\ x^2+y^2+z^2=14 & & & \end{matrix}\right.$
 
Bài 2 (5 điểm).
Cho hàm số $f(x)=(x+m)^3+(x+n)^3-x^3$ ($m$, $n$ là tham số thực).
Chứng minh rằng với mọi $m$, $n$ thì phương trình $f(x)=0$ có đúng một nghiệm thực.
 
Bài 3 (5 điểm).
Năm điểm thứ tự $A_1$, $A_2$, $A_3$, $A_4$, $A_5$ chia đường tròn bán kính $R$ thành $5$ cung bằng nhau. Chứng minh rằng: $A_1A_2.A_1A_3=\sqrt{5}R^2$.
 
Bài 4 (5 điểm).
Tìm số tự nhiên $N$ có ba chữ số sao cho: Tổng các giai thừa ba chữ số của $N$ bằng $N$.

[LTTK]

ĐỀ SỐ 59

 

Câu 1: Giải HPT: $(x^{2}+y^{2})(x+y-3)=4y-6x$ ; 
                           $(x^{2}+y^{2})(x-y-5)=-4x-6y$ .
 
Câu 2: Cho dãy $(a_{n}) : a_{0}=2; a_{1}=4; a_{2}=11$ và công thức:  

 

$a_{n}= (n+6)a_{n-1} -3(2n+1)a_{n-2} + 9(n-2)a_{n-3} (n\geq 3)$

 
            CMR: Trong dãy trên tồn tại vô hạn các số $a_{n}$ sao cho $a_{n}-1$ chia hết cho $2^{2015}$.
 
Câu 3: Cho tam giác $ABC$ không cân, nhọn nội tiếp $(O)$ cố định. $B,C$ cố định và $A$ di chuyển trên $(O)$. $I$ là tâm nội tiếp. $AI$ cắt $(O)$ tại điểm thứ hai $M$. $F$ là hình chiếu của $I$ lên $AB$. $IF$ cắt $BC$ tại $S$. $SM$ cắt $(O)$ tại $T$.
            (a) CMR: $TI$ luôn đi qua một điểm cố định $G$ khi $A$ di chuyển.
            (b) Gọi $H$ là trực tâm $ABC$. $Q$ đối xứng với $H$ qua $F$. $L$ là hình chiếu của $F$ lên $IC$. $R$ đối xứng với $I$ qua $L$. CMR: $FL,QR,GI$ đồng quy.
 
Câu 4: Cho $x,y,z$ là các số thực dương. CMR:

$\sum \frac{xy^{3}z^{3}}{(x^{2}+yz)^{2}(y^{3}+z^{3})} \leq \frac{3}{8}$.

[LTTK]

ĐỀ SỐ 60

 

Câu 1. Tìm các cặp nguyên dương $(x,y)$ thỏa mãn phương trình

$$(x+1)^4+(x+2)^4+....+(x+2011)^4=4^y.$$
 
Câu 2. Cho $a_0,a_1>0$. Xét dãy {$a_n$} thỏa $a_{n+1}=\dfrac{2}{a_n+a_{n-1}}$. Chứng minh dãy có giới hạn hữu hạn khi n tiến tới vô cùng và tìm giới hạn đó.

Câu 3. Tam giác$ ABC$ nhọn,$D$ nằm trong tam giác thỏa mãn $\widehat{ADB}=60^\circ +\widehat{ACB} $ và $DA.BC=DB.AC$. Chứng minh rằng $DC.AB=AD.BC$

Câu 4. Tìm số hoán vị ${a_1,a_2,...,a_n} $của {1,2,3,...,n} ($n\geq 2)$ thỏa mãn  cả hai điều kiện sau

1) $a_i \neq $ $i$ với mọi$ i=1,2,..,n$

2) $a_{i+1}-a_i \leq 1$ với mọi$ i=1,2,..,n-1$

[LTTK]

ĐỀ SỐ 61

 

Câu 1. Giải hệ sau $\left\{\begin{matrix}x+3y=x^3-12\\-y+4z=y^3-6\\ 9z+2x=z^3+32\end{matrix}\right.$

Câu 2. Cho$ a$ là số nguyên dương có ít nhất một ước nguyên tố khác $2$ và $5$.CMR với $k$ là số dương bất kì, luôn tồn tại vô hạn $n$ thỏa mãn $S(n)>k.S(an)$ Trong đó $S(x)$ là hàm tổng các chữ số của $x$ nguyên dương.

Câu 3. Kí hiệu$ I$ là tâm nội tiếp$ ABC$. Đường thẳng vuông góc với $IA $ tại $A$ cắt $BI,CI$ tại $K,M$. Gọi $B',C'$ là giao điểm của $2$ cặp $(BI,AC),(CI,AB)$. Đường thẳng $B'C'$ cắt $(O)=(ABC)$ tại $N,E$. Chứng minh rằng bốn điểm $M,N,E,K$ thuôc cùng một đường tròn.

Câu 4. Một trò chơi được chơi bởi $2$ người rất giỏi bằng cách bẻ $1$ thanh gỗ có độ dài nguyên thành $2$ thanh gỗ có độ dài nguyên khác nhau. Trò chơi bất đầu với thanh có $\l =2010$. Hai bạn $A,B$ chơi lần lượt, $A$ đi trước. Trò chơi kết thúc nếu thanh gỗ có độ dài $1$ or $2$ ($k$ thể bẻ tiếp để thỏa mãn đề được nữa). Nếu kết thúc mà số thanh độ dài $1$ lớn hơn số thanh độ dài $2$ thì người đi bước cuối thắng, nếu ngược lại nhỏ hơn thì người đi bước cuối thua, nếu bằng thì hòa. Hãy xác định kết quả trò chơi ?

[LTTK]

ĐỀ SỐ 62

 

Câu 1. Cho trước số nguyên dương lẻ $n$. Trong tất cả các cặp $(a,b)$nguyên dương thỏa mãn $\left\{\begin{matrix} a+nb\ \vdots\  n+2 \\ a+(n+2)b\ \vdots\ n \end{matrix}\right.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=a+b$.

Câu 2. Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho tồn tại hàm $f: \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}_+$ thỏa mãn $f(x+y)\ge y \cdot f_n(x) \,\, \forall x,y >0$ và $f_n(x)$ là hàm hợp bậc $n$.

Câu 3. Cho tứ giác toàn phần $ABCDEF$, trong đó tứ giác $ABCD$ có đường tròn nội tiếp tâm $I$. Gọi $A_1, B_1, C_1, D_1$ là tiếp điểm của $(I)$ với các cạnh $AB, BC, CD, DA$. Gọi $M$ là hình chiếu của $I$ lên $EF$. Hình chiếu của $M$ lên các đường thẳng $A_1B_1,$ $B_1C_1,$ $C_1D_1,$ $D_1A_1$ là $M_1,M_2,M_3,M_4$. Chứng minh rằng $M_1,M_2,M_3,M_4$ thẳng hàng.

Câu 4. Cho $n$ là số nguyên dương. Xét 1 bảng ô vuông kích thước $n\times n$ được chia thành $n^2$ ô vuông con. Ban đầu tất cả ô vuông con đều trống. Mỗi bước ta chọn ra $n$ ô vuông con khác hàng và khác cột đôi một khác nhau, sau đó thêm vào chúng một ngôi sao. Chứng minh rằng từ một bảng $n\times n$ trống, sau 2010 bước thực hiện, ta thu được bảng có tổng sô ngôi sao trên mỗi hàng, mỗi cột đều bằng 2010.
 

[LTTK]

ĐỀ SỐ 63

 

Câu 1. Tìm tất cả các cặp $(m,n)$ cùng tính chãn lẻ sao cho $2(m^2+n^2)\vdots m^2-n^2-4$.

Câu 2. Giả sử đa thức $P(x)\in \mathbb{R}[x]$ thỏa mãn $P(2x^3+x)=P(x)\cdot P(2x^2)$. Chứng minh rằng $P(x^2)\cdot P(y^2)\ge P(xy)$.

Câu 3. Cho 2 điểm $A,B$ cố định và $(O)$ thay đổi. $a,b$ là đường đối cực của $A,B$ đối với $(O)$ thỏa mãn $\dfrac{d(A,b)}{d(B,a)}=2$. Xác định vị trí của $O$ để $S_{OAB}$ lớn nhất.

Câu 4. Một $4k$-giác đều chia thành các hình bình hành không cắt nhau (có thể chung một phần cạnh)

1) Chứng minh rằng trong số các hình bình hành đó có ít nhất $k$ hình chữ nhật.

2) Giả sử cạnh đa giác đều là 1. Tính tổng diện tích tất cả các hình chữ nhật trong cách chia trên.

[LTTK]

ĐỀ SỐ 64

 

Câu 1: Giải phương trình
$x\sqrt{x^2 +6} + (x+1)\sqrt{x^2+2x+7}=\frac{13}{5} (2x+1)$

Câu 2: Cho $x\geqslant y\geqslant z$ và không có 2 số nào đồng thời bằng 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của
$P= \sqrt{\frac{x^2+z^2}{y^2+z^2}} + \sqrt{\frac{y^2+z^2}{x^2+z^2}} +\sqrt{\frac{z^2+xy}{x^2+y^2}}$

Câu 3: Giải phương trình nghiệm nguyên
$2x^2 + 4x = 19-3y^2$

Câu 4: Cho tam giác ABC nhọn không cân, nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của BC,CA,AB. Đường thẳng PO,NO cắt đường thẳng AM lần lượt tại D,E ; đường thẳng BD và CE cắt nhau tai F. chứng minh rằng:
a. hai tam giác FEO và NEM đồng dạng với nhau.
b. các điểm N,O,F,P thuộc một đường tròn

Câu 5: Tìm tất cả hàm số
f : [1;+∞) ->[1;+∞) thỏa mãn $\left\{\begin{matrix} &x\leqslant f(x)\leqslant 2x+2\\xf(x+1)=(f(x)^2))-1 & \end{matrix}\right.$

[LTTK]

ĐỀ SỐ 65

 

Câu 1. Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình sau
$x^4+1=2y^2$

Câu 2. Với a,b,c là các số nguyên dương có tổng bằng 1, chứng minh rằng :
$\dfrac{13}{4}.(ab+bc+ca)\leq 1+4abc.\sum\dfrac{a}{(a+1)^2}$
 

Câu 3. Cho tam giác ABC không cân. Đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với BC,CA,AB tại D,E,F. AD giao EF tại J. M,N di chuyển trên (I) sao cho M,J,N thẳng hàng và M nằm về phía nửa mặt phẳng bờ AD có C,N nằm về phía nửa mp bờ AD chứa B. Giả sử DM,DN cắt AC,AB tại P,Q.
a) Giả sử MN cắt PQ tại T.Chứng minh T nằm trên đường thẳng d cố định
b) Tiếp tuyến tại M,N của I cắt nhau tại S.Chứng minh $S\in d$
c) SJ giao BC tại K.Chứng minh $IK\perp TD$

Câu 4. Cho một đa giác lồi 2012 cạnh. Hỏi ta có thể chia đa giác này thành các tam giác bằng cách vẽ các đường chéo của nó sao cho không có 2 đường chéo nào cắt nhau ở bên trong đa giác và tại mỗi đỉnh của đa giác ban đầu đều có một số chẵn các đường chéo được vẽ xuất phát từ đỉnh đó? Câu hỏi như trên khi thay 2012 bởi 2013

[LTTK]

ĐỀ SỐ 66

 

Câu 1. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$ tồn tại duy nhất một số nguyên dương $a<5^n$ thỏa mãn $5^n|a^3-a+1$

Câu 2. Cho $k$ là số thực dương cố định và $a,b,c$ là các số dương thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của
$P= \dfrac{a+b+c}{ (a^k+b^k+c^k)^{\dfrac{1}{k}}}+\dfrac{(a^k+b^k+c^k)^{\dfrac{3}{k}}}{abc}$

Câu 3. Cho tam giác $ABC$.$M$ di chuyển trên đoạn $BC$, $B' \in AC,C'\in AB$ sao cho $AC'MB'$ là hình bình hành.Gọi $N_b,N_c$ là tâm Euler của $MBC'$ và $MCB'$. $T$ là trung điểm $N_bN_c$. Chứng minh rằng $MT$ đi qua điểm cố định.

Câu 4. Cho dãy số dương $a_n$ thỏa mãn
$$a_1=1,a_2=\dfrac{2}{3},a_{n+2}<\dfrac{1}{4}a_{n+1}^2+\dfrac{3}{4}a_n$$

Chứng minh rằng $a_n$ hội tụ và tìm giới hạn của nó.

[LTTK]

ĐỀ SỐ 67

 

Bài 1: Với n nguyên dương lớn hơn hoặc bàng 4, $a \in R (0\leq a\leq 1)$, chứng minh rằng
${\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{sin\left[\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4n}\right)\pi\right]}{2sin(\dfrac{\pi}{4n})}\right)}^{a} \leq 1+\sum_{k=1}^{n-1}\dfrac{1}{k}{\left(kcos(\dfrac{k\pi }{2n})\right)}^{a}$

 

Bài 2:Với n là số nguyên dương, ta kí hiệu a là ước số lớn nhất của n nhưng không vượt quá $\sqrt{n}$, b là số nguyên lớn hơn n nhỏ nhất sao cho nb chia hết cho y, với y là số nguyên nào đó thỏa mãn $n<y<b$. Chứng minh rằng:$ab=(a+1)(a+n)$

Bài 3: Cho tam giác đều XYZ nội tiếp đường tròn (O) và điểm P bất kì nằm ở miền trong tam giác đó(không nằm trên biên). Gọi A,B,C lần lượt là giao của PX,PY,PZ với đường tròn (O).
a)Gọi a,b,c là độ dài các cạnh BC,CA,AB của tam giác ABC. Chứng minh rằng $aPA=bPB=cPC$.
b) Gọi ${I}_{a},{I}_{b},{I}_{c}$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác PBC, PCA, PAB. Chứng minh rằng $A{I}_{a},B{I}_{b},C{I}_{c}$ đồng quy.

 

Bài 4: Cho số nguyên dương $n>10$. Tìm $m\in {N}^{*}$ lớn nhất thỏa mãn điều kiện:
Tồn tại m tập con ${A}_{j}$ của tập $A={1,2,3,...2n}$, mỗi tập con gồm n phần tử sao cho $|{A}_{i} \cap {A}_{j} \cap {A}_{k}| \leq 1$, với mọi $1 \leq i<j<k \leq n$

[LTTK]

ĐỀ SỐ 68

 

Câu 1. Tìm tất cả các đa thức $P(x)\in\mathbb{R\text{[x]}}$ thỏa mãn $P(x-y)+P(y-z)+P(z-x)=3P(x)+3P(y)+3P(z)$ với $\forall x,y,z\in\mathbb{R}$ mà $x+y+z=0$.
 

Câu 2. Cho dãy số${a_{n}}$ xác định như sau $a_{1}=0$ và $a_{n+1}=\frac{{(4n+2).n^{3}}}{(n+1)^{4}}a_{n}+\frac{3n+1}{(n+1)^{4}}\ \forall n=1,2,3,...$. Chứng minh rằng tồn tại vố số số nguyên dương $n$ thỏa mãn $a_{n}$ là số nguyên dương.
 
Câu 3. Cho lục giác $AMBDNC$ thỏa mãn $AC=BD$ và $MN$ là đường kính đường tròn ngoại tiếp $MC$ cắt$ AD,AN$ tại $F,P$ và $MD$ cắt $BC,BN$ taị $E,Q$. Chứng minh rằng $\frac{\overline{CP}}{\overline{CM}}+   \frac{\overline{FP}}{\overline{FM}}+  \frac{\overline{DQ}}{\overline{DM}}+   \frac{\overline{EQ}}{\overline{EM}} $
là hằng số.

Câu 4. Trên vòng tròn có một số điểm được tô bởi một trong 2 màu xanh hoặc đỏ.Mỗi bước thực hiên cho phép xó đi hoặc thêm vào một điểm tô màu đỏ (điểm thêm vào nằm trên vòng tròn và không trùng các điểm cho trước),đồng thời hai điểm kề với nó (trước khi xóa hoặc sau khi thêm) được đổi màu: xanh $\rightarrow$ đỏ và ngược lại. Giả sử ban đầu có đúng hai điểm màu đỏ và sau mỗi bước thực hiện ta không được để lại ít hơn 2 điểm. Hỏi sau số hữu hạn bước có thể thu được vòng tròn có:

$i)$ 2009 điểm màu xanh và 1 điểm màu đỏ

$ii)$ 2010 điểm màu xanh và 1 điểm màu đỏ

$iii)$ 2010 điểm màu xanh

[LTTK]

ĐỀ SỐ 69

 

Câu 1. Cho dãy số $a_{n}$ thỏa mãn $0<a_{n+1}-a_{n}\leq2010$. Chứng minh rằng tồn tại vô số cặp số nguyên dương $(p,q)$ thỏa mãn $p<q$ thì $a_{p}|a_{q}$

Câu 2. Tìm $x,y,z$ thỏa mãn hệ $\left\{\begin{matrix}
&2z(x+y)+1=x^{2}-y^{2} \\
& y^{2}+z^{2}=1+2xy+2xz-2yz \\
& y(3x^{2}-1)=-2x(x^{2}+1)
\end{matrix}\right.$

Câu 3. Hai đường tròn $(O_{1})$ và $(O_{2})$ cắt nhau tại $A,B$ và $I$ là trung điểm $O_{1}O_{2}$. Gọi $C$ là đối xứng của $B$ qua $I$. Một đường tròn $(O)$ đi qua $A,C$ cắt hai đường tròn đã cho tại $M,N$ khác $A$. Chứng minh rằng $CM=CN$.

Câu 4. Gọi $\mathbb{N}$ là tập hợp các số tự nhiên. Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{N\times N}\rightarrow\mathbb{N}$ thỏa mãn

i) $f(a,b)=f(b,a)$

ii) $f(b,f(a,b))=a$

iii) Nếu $f(a,b)>c$ thì $f(b,c)<a$

[LTTK]

ĐỀ SỐ 70

 

Bài 1(4 điểm)
Giải phương trình $:x^2-x-6=(2^x+1)\left ( 2^{\frac{x}{2}}+2 \right )\left ( \sqrt{x+1}-2 \right )$
 
Bài 2(3 điểm)
Cho $a,b,c\ge 0$.Chứng minh bất đẳng thức

$(a+bc)^2+(b+ca)^2+(c+ab)^2\geq \sqrt{2}(a+b)(b+c)(c+a)$

Tìm tất cả bộ số $\left ( a,b,c \right )$ để dấu đẳng thức xảy ra
 
Bài 3(3 điểm)
Cho hai đa thức $\mathcal{P}(x),\mathcal{Q}(x)\in \mathbb{Z}\left [ x \right ]$.Biết

$x^2+x+1\mid x.\mathcal{P}(x^2+x)+\mathcal{Q}(x^3)$

Chứng minh rằng $2015\mid \mathcal{P}(2014)+\mathcal{Q}(2016)$
 
Bài 4(4 điểm)
Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $\left ( O,\frac{AC}{2} \right )$ có $AB=AD=a$.Tiếp tuyến tại điểm $M$ của đường tròn $(A,a)$ cắt $BD$ tại điểm $S$,đường thẳng $SA$ cắt đường tròn $\left ( O,\frac{AC}{2} \right )$ tại hai điểm $A,N$.Gọi $E=BN\cap MD,F=BM\cap ND$.Chứng minh rằng
$1)$ $\overline{M,N,C}$
$2)$ $MO\perp FE$
 
Bài 5(3 điểm)
Cho dãy số $(x_n)$ xác định bởi $\left\{\begin{matrix} x_0=1,x_1=16\\x_{n+2}=14x_{n+1}-x_n+2,\forall n\in \mathbb{N} \end{matrix}\right.$
Chứng minh rằng $\forall n\in \mathbb{N}$ thì $x_n$ là số chính phương
 
Bài 6(3 điểm)
Tìm số nghiệm tự nhiên $(x,y,z)$ của hệ $\left\{\begin{matrix} x+y+z=2015\\x\ge 50 \\y\le 100 \\50\le z\le 100 \end{matrix}\right.$

[LTTK]

ĐỀ SỐ 71

 

Câu 1: Chứng minh rằng phương trình $x^{2015}-y^{2016}=2115$ không có nghiệm với $x,y\in\mathbb{Z}$
 
Câu 2: Tìm số nguyên dương $n\geq 2015$ nhỏ nhất sao cho tồn tại đa thức $P(x)$ bậc $n$ với hệ số nguyên, hệ số bậc cao nhất dương và đa thức $Q(x)$ với hệ số nguyên thỏa mãn điều kiện $xP^2(x)-2P(x)=(x^3-x)Q^2(x)$ với mọi $x\in\mathbb{Z}$
 
Câu 3: Cho tam giác $ABC$, đường phân giác $AD$. Các điểm $E,F$ nằm trên $CA,AB$ sao cho $EF\parallel BC$. $M,N$ tương ứng là chân đường cao kẻ từ $C,B$ đến $DE,DF$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $AFN$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEM$ tại $P$ khác $A$
 
Chứng minh rằng $AP$ chia đôi $BC$
 
Câu 4: Trên mặt phẳng cho $n$ điểm phân biệt sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng. Mỗi đường thẳng nối hai điểm trong chúng được tô bởi đúng một trong bốn màu khác nhau. Tìm $n$ nguyên dương lớn nhất sao cho tồn tại cách tô màu mà với $4$ điểm bất kỳ trong $n$ điểm đã cho thì các đoạn thẳng nối giữa chúng được tô bởi cả bốn màu khác nhau.
 

[LTTK]

ĐỀ SỐ 72

 

Câu 1. (6 điểm)

• Giải phương trình sau:
  $$2(x-2)(\sqrt[3]{x+5}+2\sqrt{2x-5})=3x-1$$ với mọi $x \in \mathbb{R}$
• Giải bất phương trình
  $$x^3-3x^2+2\sqrt{(x+2)^3}-6x\ge 0$$ với mọi $x \in \mathbb{R}$

Câu 2. (3 điểm)
Tìm tất cả các giá trị tham số $m$ để hệ phương trình sau có nghiệm
$$\begin{cases}x^3-12x-y^3+6y^2-15=0\\4x^2+2\sqrt{4-x^2}-5\sqrt{4y-y^2}+m=0\end{cases}$$

Câu 3. (2,5 điểm)
Cho 3 số thực $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+z=xyz$ và $x,y,z>1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$$P=\dfrac{x-1}{y^2}+\dfrac{y-1}{z^2}+\dfrac{z-1}{x^2}$$

Câu 4. (6 điểm)

• Cho tứ diện $ABCD$ có $AB=CD, AC=BD,AD=BC$. Chứng minh rằng khoảng cách từ trọng tâm của tứ diện $ABCD$ đến các mặt phẳng $(ABC), (BCD), (CDA), (DAB)$ bằng nhau.
• Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là $ABCD$ là hình thoi cạnh $2a; SA=SB=SC=2a$. Gọi $V$ là thể tích khối chóp $S.ABCD$. Chứng minh $$V\le 2a^3$$

Câu 5. (2,5 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho đường tròn $©$:
$$(x-1)^2+(y-1)^2=25$$
và các điểm $A(7;9); B(0;8)$. Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc $©$ sao cho biểu thức $P=MA+2MB$ đạt giá trị nhỏ nhất.

[LTTK]

ĐỀ SỐ 73

 

Bài 1. Cho $x,y,z$ là ba số thực không âm thỏa mãn $x+y+z=3$. Chứng minh rằng $$\sqrt{3-xy}+ \sqrt{3-yz}+\sqrt{3-xz} \ge 3 \sqrt{2}$$
 

Bài 2. Một số nguyên dương được gọi là tốt nếu nó có thể biểu diễn được dưới dạng $p^n-1$, trong đó $p$ là một số nguyên tố và $n$ là một số nguyên dương. Xác định tất cả các số nguyên dương $k$ vừa là số chẵn, vừa là tốt và đồng thời thỏa mãn tính chất: mọi ước nguyên dương của $k$ cũng là tốt.

Bài 3. Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{BAC}=30^o.$ $BX,BY$ theo thứ tự là phân giác trong và phân giác ngoài của góc $ABC$; $CZ,CT$ theo thứ tự là phân giác trong và phân giác ngoài của góc $ACB$. Chứng minh rằng các đường tròn đường kính $BC,XY,ZT$ cùng đi qua một điểm.

Bài 4. Trên bàn cờ Châu Âu $8 \times 8$ người ta viết mỗi ô một số khác nhau từ số $1$ đến số $64$. Chứng minh rằng luôn tìm được một ô trắng và một ô đen sao cho hiệu hai số được ghi trên đó không nhỏ hơn $31.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LTTK: 26-10-2016 - 21:33

[dangkhuong]

 

ĐỀ SỐ 3

 

Câu 1 (2,5đ)
a) Tìm điều kiện của tham số $m$ để hàm số $y=x^3+3mx^2+3(m+1)x+2$ nghịch biến trên một khoảng có độ dài lớn hơn $4$.
b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của $a$, đường thẳng $d:y=x+a$ luôn cắt đồ thị hàm số $y=\frac{-x+1}{2x-1} \ \ (H)$ tại hai điểm phân biệt $A,B$. Gọi $k_1,k_2$ lần lượt là hệ số góc của tiếp tuyến với $(H)$ tại $A,B$. Tìm $a$ để tổng $k_1+k_2$ đạt giá trị lớn nhất.
 
Câu 2 (2,0 đ)
a) Giải phương trình: $2\cos^2x + 2\sqrt{3}\sin x\cos x + 1 = 3 \left( \sin x + \sqrt{3}\cos x \right)$
b) Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số $\overline{abc}$ thỏa mãn điều kiện $a\leq b \leq c$.
 
Câu 3 (1,5đ)
Giải hệ phương trình:
$$\left\{\begin{matrix}x^3-y^3-3x^2+6y^2=-6x+15y-10\\ y\sqrt{x+3}+(y+6)\sqrt{x+10}=y^2+4x\end{matrix}\right.$$
 
Câu 4 (1,5đ)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ có trung điểm cạnh $BC$ là $M(3;-1)$, đường thẳng chứa đường cao kẻ từ đỉnh $B$ đi qua $E(-1;-3)$ và đường thẳng chứa cạnh $AC$ đi qua $F(1;3)$. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác $ABC$, biết rằng điểm đối xứng của $A$ qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ là $D(4;-2)$.
 
Câu 5 (1,5đ) 
Cho hình chóp $S.ABCD$ thỏa mãn $SA=a\sqrt{5}, SB=SC=SD=AB=BC=CD=DA=a\sqrt{3}$. Gọi $M$ là trung điểm $BC$. Tính thể tích khối chóp $S.MCD$ và khoảng cách giữa $SM,CD$.
 
Câu 6 (1,0đ)
Cho các số thực $a,b,c \geq 1$ thỏa mãn $a+b+c=6$. Chứng minh rằng: 
$$(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) \leq 216$$

 

Đây là đề Vĩnh Phúc 2013-2014 thì ơhải. Câu cuối đề này sử dụng thể loại dồn biến khá khủng(Gần đây thể loại này mới bị khắc chế bằng phương pháp mới của a Cẩn-sử dụng loga đưa về tiếp tuyến). 

[LTTK]

ĐỀ SỐ 74

 

Bài 1:(5 điểm)
Giả sử $x_{1},x_{2},x_{3}...x_{2015}$ là 2015 số thực thuộc đoạn $[-1,1]$ mà $\sum_{i=1}^{2015}x_{i}^{3}=0$
     1) Chứng minh rằng: $\sum_{i=1}^{2015}x_{i}< 672$
 
     2) Tìm giá trị lớn nhất của $\sum_{i=1}^{2015}x_{i}$
 
Bài 2:(5 điểm)
Giả sử $a_{1},a_{2},a_{3}...a_{2016}$ là 1 dãy số nguyên thỏa mãn điều kiện: $a_{m}+a_{n}\leq a_{m+n}\leq a_{m}+a_{n}+1$ với mọi cặp số nguyên dương m,n mà $m+n\leq 2016$.
     Chứng minh rằng tồn tại số thực x sao cho $a_{n}=[nx]$ với mỗi  $n\in \left \{ 1,2,..,2016 \right \}$
 
Bài 3:(5 điểm) 
Cho tam giác nhọn, không cân $\Delta ABC$ nội tiếp đtròn (O). Đường phân giác góc A của tam giác cắt cạnh BC tại D và cắt lại đtròn (O) tại E.Gọi K là điểm nằm trong mặt phẳng chứa $\Delta ABC$, thỏa mãn các điều kiện KB=KC và $\widehat{BKC}+\widehat{BAC}=180^{\circ}$. Giả sử K nằm trong $\Delta ABC$
     1) Chứng minh rằng bốn điểm A,O,K,D cùng thuộc 1 đường tròn, kí hiệu là (P).
 
     2) Gọi L là giao điểm thứ 2 của (P) và (O). Chứng minh $\widehat{LAB}=\widehat{KAC}$
 
     3) Gọi G là giao điểm của AL và BC; I là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta ABC$; M là trung điểm của đoạn GI, N là giao điểm thứ 2 của đường thẳng EM và đường tròn (O). Chứng minh rằng các đường thẳng NI, AK cắt nhau tại 1 điểm thuộc (O).
 
Bài 4:(5 điểm)
Có một số bi màu  xanh, một số bi màu đỏ, một số bi màu trắng được đặt sẵn trong một cái hộp. Một người chơi được cung cấp đủ lượng bi thuộc cả 3 loại màu xanh, đỏ , trắng và tại mỗi lượt người chơi sẽ lấy từ hộp ra 2 viên bi rồi thực hiện tiếp trò chơi theo luật như sau:
     -  Nếu 2 viên bi được lấy ra có màu khác nhau thì người chơi phải bỏ vào hộp 1 viên bi khác màu với 2 viên đó(cụ thể: nếu đã lấy ra 1 bi xanh, 1 bi đỏ thì phải bỏ vào hộp 1 viên bi trắng, nếu đã lấy ra 1 bi đỏ, 1 bi trắng thì phải bỏ vào hộp 1 viên bi xanh, nếu đã lấy ra 1 bi trắng, 1 bi xanh thì phải bỏ vào hộp 1 viên bi đỏ)
 
     - Nếu 2 viên bi được lấy ra cùng màu với nhau thì người chơi ko phải  bỏ lại vào hộp viên bi nào cả.
  
Và cứ như thế cuộc chơi chỉ dừng lại khi trong hộp hết bi hoặc chỉ còn 1 viên bi.
 
Chứng minh rằng kết quả cuối cùng của cuộc chơi ko phụ thuộc vào cách lấy bi của người chơi( cho dù người chơi được phép nhìn vào hộp).

[LTTK]

ĐỀ SỐ 75

 

Câu 1: 
   1, Cho hàm số $y=x^{3}-3(1-2m)x-2$. Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục Ox tại đúng 1 điểm
   2, Cho hàm số $y=x^4-2(m+1)x^2+2$. Tìm m để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị tạo thành 1 tam giác có đường tròn ngoại tiếp đi qua điểm $M(\frac{\sqrt{3}}{2};\frac{1}{2})$
 

Câu 2:
   1, Giải hệ phương trình: $3x^2-2x-5+2x\sqrt{x^2+1}=2(y+1)\sqrt{y^2+2y+2}$
                                       $2x-4y+3=x^2+2y^2$   
   2, Giải bất phương trình: $2+3\sqrt{x^2+x}.\sqrt{x-2} \leq 2(x^2-3x)$
 

Câu 3: 
   1, Có 2 hộp đựng bi, mỗi viên bi chỉ mang 1 màu trắng hoặc đen.Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp đúng 1 viên bi
        a, Biết rằng hộp thứ nhất có 20 viên bi, trong đó có 7 viên đen. Hộp thứ 2 có 15 viên bi trong đó có 10 bi đen. Tính xác suất để lấy được 2 viên bi đen
        b, Biết tổng số bi ở 2 hộp là 20 và xác suất để lấy được 2 viên đen là $\frac{55}{84}$.Tính xác suất để lấy được 2 viên trắng
   2, Cho dãy số $U_{n}$ thỏa mãn: $U_{1}=-1$; $U_{n+1}=\frac{U_{n}}{2}+\frac{2}{U_{n}}$ (với n nguyên dương) và dãy số $V_{n}$ thỏa mãn: $U_{n}V_{n}-U_{n}+2V_{n}+2=0$. Tính $V_{n}$ và lim$U_{n}$
 

Câu 4: 
   1, Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, góc BAD=120 độ, BD=a>0, cạnh bên SA vuông góc với mp(ABCD), góc giữa mp(SCB) và (ABCD)=60 độ, Điểm K thay đổi trên đoạn SC.
        a, Tìm các vị trí của K sao cho tam giác BKD lần lượt có diện tích nhỏ nhất , lớn nhất.
        b, Khi K là điểm sao cho diện tích tam giác BKD nhỏ nhất. Tính tỉ số thể tích 2 khối đa diện do mặt phẳng (BKD) chia khối chóp S.ABCD
   2, Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có AB=AA'=a. Điểm M thay đổi trên đường thẳng AB sao cho mặt phẳng qua M, vuông góc với AB cắt đường thẳng BC' tại điểm N trên BC'. Xác định vị trí của M để biểu thức $2AM^2+MN^2$ min
 

Câu 5:
Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn abc=1.CMR:
$\frac{b^2}{(ab+2)(2ab+2)}+\frac{c^2}{(bc+2)(2bc+2)}+\frac{a^2}{(ac+2)(2ac+2)} \geq \frac{1}{3}$

[LTTK]

ĐỀ SỐ 76

 

Câu1 Giải phương trình trên tập số thực $3x^2-10x+6+(x+2)\sqrt{2-x^2}=0 $
 

Câu2 Tìm số tự nhiên x,y thỏa mãn $2^y=1+x+x^2+x^3$
 

Câu3 Cho n số nguyên dương đôi một phân biệt thỏa mãn $\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+...+\frac{1}{a_{n}}=1 $ trong đó số lớn nhất trong cách số $a_{1};a_{2}...;a_{n}$ có dạng $2p$ với $p$ là số nguyên tố.Xác định số lớn nhất đó
 

Câu4 Cho tam giác $ABC$ không tù.Gọi $D$ là chân đường cao vẽ từ $A$. Gọi $I;J$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác $ABD;ACD$ ($D$ là chân đường cao hạ từ $A$) .Đường thẳng $IJ$ cắt $AB,AC$ lần lượt tại $P,Q$. Chứng minh rằng $AP=AQ$ khi và chỉ khi $AB=AC$ hoặc góc $BAC$ bằng 90 độ.
 

Câu5 Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=1$. Chứng minh rằng
$$\frac{1}{1-ab}+\frac{1}{1-bc}+\frac{1}{1-ac}\leq \frac{9}{2}$$
 

Câu6 Trong một hội nghị có 100 người.Trong đó có 15 người Pháp,mỗi người quen với ít nhất 70 đại biểu và 85 người Đức,mỗi người quen với không quá 10 đại biểu.Họ được phân vào 21 phòng.Chứng minh rằng có một phòng nào đó không chứa một cặp nào quen nhau.