Chủ đề này có 1 trả lời

[supernatural1]

Cho phương trình $ x^{3}+px^{2}+qx+r=0 $ với p,q,r là các số nguyên. Biết phương trình có ba nghiệm thực $ x_{1};x_{2};x_{3} $. Chứng minh rằng biểu thức: $ S_{n}=x_{1}^{n}+x_{2}^{n}+x_{3}^{n} $ nhận giá trị nguyên với mọi số nguyên dương n

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supernatural1: 05-01-2017 - 09:48

[12345678987654321123456789]

Áp dụng định lí Viet

$\left\{\begin{matrix} x_1+x_2+x_3=-p\\ x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3=q\\ x_1x_2x_3=-r \end{matrix}\right.$

Do $p,q,r$ nguyên nên $x_1+x_2+x_3$ và $x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3$ và $x_1x_2x_3$ nguyên

Do đó $S_2=x_1^2+x_2^2+x_3^2=(x_1+x_2+x_3)^2-2(x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3)$ nguyên. Tương tự chứng minh được $S_3$ nguyên

Giả sử $S_n$ nguyên với $n\geq3$

Ta sẽ chứng minh $S_{n+1}$ nguyên

Ta có $P=(x_1^n+x_2^n+x_3^n)(x_1+x_2+x_3)+x_1x_2x_3(x_1^{n-2}+x_2^{n-2}+x_3^{n-2})$ là số nguyên

Mà 

$P=x_1^{n+1}+x_2^{n+1}+x_3^{n+1}+x_1^n x_2+x_1^n x_3+x_1x_2^n+x_2^n x_3+x_1x_3^n+x_2x_3^n+x_1^{n-1}x_2x_3+x_1x_2^{n-1}x_3+x_1x_2x_3^{n-1}\\=x_1^{n+1}+x_2^{n+1}+x_3^{n+1}+x_1x_2(x_1^{n-1}+x_2^{n-1}+x_3^{n-1})+x_2x_3(x_1^{n-1}+x_2^{n-1}+x_3^{n-1})+x_1x_3(x_1^{n-1}+x_2^{n-1}+x_3^{n-1})\\=x_1^{n+1}+x_2^{n+1}+x_3^{n+1}+(x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3)(x_1^{n-1}+x_2^{n-1}+x_3^{n-1})\\=S_{n+1}+Q$

Vì $P$ và $Q$ nguyên nên $S_{n+1}$ nguyên

Theo nguyên lí quy nạp ta có điều phải chứng minh $\square$