2 replies to this topic

[supernatural1]

Giả sử a,b,c là các số thực dương thỏa mãn: $ \frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{c+a+1}+\frac{1}{a+b+1} \geq 1 $. CMR:

$ a+b+c \geq ab+bc+ca $

[Baoriven]

Áp dúng BĐT $Cauchy-Schwarz$, ta có:

$(b+c+1)(b+c+a^2)\geq (b+c+a)^2\Leftrightarrow \frac{1}{b+c+1}\leq \frac{b+c+a^2}{((a+b+c)^2}.$

Thực hiện $2$ bđt tương tự, rồi cộng theo vế ta được:

$\frac{2(a+b+c)+a^2+b^2+c^2}{(a+b+c)^2}\geq \frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{c+a+1}+\frac{1}{a+b+1} \geq 1.$

Từ đó ta có đpcm. 

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1.$

[sharker]

 

  $\sum {\frac{1}{{b + c + 1}} = } \sum {1 - \frac{{b + c}}{{b + c + 1}}} $

  $BDT \Leftrightarrow 2 \geqslant \sum {\frac{{b + c}}{{b + c + 1}} = \sum {\frac{{{{(b + c)}^2}}}{{(b + c)(b + c + 1)}} \geqslant \frac{{4{{(a + b + c)}^2}}}{{2({a^2} +  {b^2} + {c^2} + ab + bc + ac + a + b + c)}}} } $

  $BDT \Leftrightarrow 1 \geqslant \frac{{{{(a + b + c)}^2}}}{{\sum {{a^2} + \sum {ab}  + \sum a } }}$

   $\Leftrightarrow \sum {{a^2} + \sum {ab}  + \sum a }  \geqslant {(a + b + c)^2}$

   $\Leftrightarrow a + b + c \geqslant ab + bc + ac$

Edited by sharker, 11-01-2017 - 19:51.