Bài 83: (Sưu tầm)
Cho tam giác $ABC$ nhọn. Các đường cao $BB_{1}; CC_{1}$. Gọi $O$ là trung điểm $BC$. Gọi $M = B_{1}C_{1} \cap BC$; $ P = (BOC_{1}) \cap (COB_{1}) $.Chứng minh rằng $MP; BB_{1}; CC_{1}$ đồng quy tại $1$ điểm.
83.png
- Chứng minh $A,P,O$ thẳng hàng $\Rightarrow \angle HPO=90^o$
Dễ thấy 4 điểm $A,C_1,H,B_1$ cùng thuộc 1 đường tròn.
Xét tứ giác $AC_1PB_1$ có $\angle AB_1P=\angle POC,\angle AC_1P=\angle POB$ (do 2 tứ giác $C_1POB,B_1POC$ nội tiếp), $\angle POB+\angle POC=180^o \Rightarrow \angle AC_1P+\angle AB_1P=180^o\Rightarrow AC_1PB_1$ nội tiếp.
$\Rightarrow \angle APH=\angle AB_1H=90^o$
Ta có $AC_1.AB=AB_1.AC \Rightarrow B_1C_1BC$ nội tiếp $\Rightarrow \angle APB_1=\angle AC_1B_1=\angle ACB$.
Mà $\angle OCB_1+\angle OPB_1=180^o \Rightarrow \angle APB_1+\angle OPB_1=180^o \Rightarrow A,P,O$ thẳng hàng.
$\Rightarrow \angle HPO=90^o$. (1)
- Chứng minh $\angle B_1C_1P=\angle PCM\Rightarrow C_1PCM$ nội tiếp.
Ta có $\angle PC_1B_1=\angle PAB_1=\angle PAC$
Ta có $\angle OPC=\angle OB_1C=\angle B_1CO$ ($\angle OB_1C=\angle B_1CO$ do $B_1O=OB=OC$ trung tuyến ứng với cạnh huyền)
Mà $\angle OPC=\angle PAC+\angle ACP, \angle B_1CO=\angle PCO+\angle ACP$
$\Rightarrow \angle PAC=\angle PCO$
$\Rightarrow \angle B_1C_1P=\angle PCM \Rightarrow C_1PCM$ nội tiếp
$\Rightarrow \angle MC_1C=\angle MPC \Rightarrow 90^o+\angle MC_1B=\angle MPO+\angle OPC$
Mà $\angle MC_1B=\angle AC_1B_1=\angle B_1CO=\angle OB_1C=\angle OPC$
$\Rightarrow \angle MPO=90^o$ (2)
(1)(2)$\Rightarrow M,H,P$ thẳng hàng.
Vậy $MP,BB_1,CC_1$ đồng quy tại 1 điểm.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kagome: 11-05-2017 - 00:39