Chủ đề này có 3 trả lời

[lephuonganh244]

cmr: $\sqrt{1+\frac{48a}{b+c}}$+$\sqrt{1+\frac{48b}{a+c}}$+$\sqrt{1+\frac{48c}{b+a}}$$\geq$15

[tienduc]

$a,b,c$ có điều kiện gì không hả bạn ?

[lephuonganh244]

$a,b,c$ có điều kiện gì không hả bạn ?

 a,b,c ko am

[KietLW9]

Chuẩn hóa $a+b+c=1$ thì ta cần chứng minh: $\sqrt{\frac{47a+1}{1-a}}+\sqrt{\frac{47b+1}{1-b}}+\sqrt{\frac{47c+1}{1-c}}\geqslant 15$

Giả sử $a\geqslant b\geqslant c$

+) Nếu $a\geqslant b\geqslant c\geqslant \frac{2}{27}$

Xét $\frac{1+47a}{1-a}-\frac{(54a+7)^2}{25}=\frac{12(27a-2)(3a-1)^2}{25(1-a)}\geqslant 0\Rightarrow \sqrt{\frac{47a+1}{1-a}}\geqslant \frac{54a+7}{5}$

Tương tự rồi cộng lại, ta có điều phải chứng minh.

+) Nếu $c<\frac{2}{27}$

Xét $\frac{1+47a}{1-a}-\frac{(96a+1)^2}{49}=\frac{48(48a+1)(2a-1)^2}{49(1-a)}\geqslant 0$

Tương tự rồi cộng lại, ta được: $\sqrt{\frac{47a+1}{1-a}}+\sqrt{\frac{47b+1}{1-b}}\geqslant \frac{96}{7}(a+b)+\frac{2}{7}=14-\frac{96}{7}c$

Cần chứng minh: $\frac{1+47c}{1-c}\geqslant (1+\frac{96}{7}c)^2\Leftrightarrow \frac{48c(192c^2-164c+21)}{49(1-c)}\geqslant 0$

Bất đẳng thức cuối đúng nên ta có điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$ hoặc $a=b,c=0$ và các hoán vị

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 16-12-2021 - 19:36